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1,2-6 无穷小量的比较,2,复习,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ；单调有界准则,3,都是无穷小.,极限不同,反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,不存在,第六节 无穷小的比较,4,定义：,记作：,(1)如果,(2)如果,(3)如果,(4)如果,记作：,设,是同一过程中的两个无穷小，,且,特别地,若C =1时,5,注意：,1.无穷小的阶的高低是相对的；并依赖于极限过程的；,2.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；,3.有两个重要的符号,6,例如,7,8,例1,求,解,令,则,当,所以,证,1.,9,例3,1.,则,注意,10,例4,解,例5,解,11,例6 设当 时 求,解 因为 所以有,即,12,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,二、等价无穷小的性质,无穷小,13,例如,2.设在某个过程中， 均为无穷小，则,14,15,三、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,说明：,即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.,16,3. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,即定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小.,说明：,即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.,17,解,3.若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，,任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，,而不会改变原式,则可对其中的,的极限,原式,例7,求极限的又一种好方法, 注意适用条件.,18,例8 求,例9求,19,例10. 求,解:,20,21,例12,解,解,错,不能滥用等价无穷小代换.,切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,22,例13,23,例14 求,解一,解二,24,例15 (09年考研) 求,解： 原式=,25,小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,26,思考题,任何两个无穷小量都
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