《工程力学M》PPT课件.ppt

,第9章 弯曲内力,第二篇 材料力学,工程力学, 弯曲内力, 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图, 剪力、弯矩与荷载集度之间关系, 用叠加法画弯矩图,第9章 弯曲内力, 概述, 9.1 概述,第9章 弯曲内力, 概述,工程上有许多杆件，在外力作用下，其主要变形为弯曲。,简化为简支梁, 概述,简化为外伸梁, 概述,简化为悬臂梁, 概述,弯曲变形杆件受力特点：,外力（集中力或分布力）作用垂直于杆轴线； 外力偶作用在杆轴线所在的纵向对称面。, 概述,弯曲变形杆件变形特点：,杆的轴线弯成曲线，杆的横截面作相对转动。,有这样受力和变形特点的杆件称为梁(beam), 概述,梁的平面弯曲定义：,有一个纵向对称面，外力作用在此平面上，梁的轴线在此平面上弯成一平面曲线。称为平面弯曲。, 9.2 弯曲内力, 弯曲内力,确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。这一点与静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要区别在于，在静力分析中只涉及共同系统或单个刚体的平衡，而在确定时，不仅要涉及单个构件以及构件系统的平衡，而且还要涉及构件的局部的平衡。因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。, 弯曲内力, 内力与外力的相互关系, 控制面, 杆件内力分量的正负号规则, 指定截面上内力分量的确定, 弯曲内力, 内力与外力的相互关系, 弯曲内力,应用截面法可以证明，当杆件上的外力（包括载荷与约 束力）沿杆的轴线方向发生突变时，内力的变化规律也 将发生变化。, 内力与外力的相依关系,所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的 情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。, 弯曲内力, 内力与外力的相依关系,所谓内力变化规律是指表示内力变化的函数或变化的图线。即，如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述。, 弯曲内力, 控制面, 弯曲内力,根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面。据此，下列截面均可为控制面：, 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷起点和终点处的截面。, 控制面, 弯曲内力,外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。, 控制面, 弯曲内力, 弯曲内力分量的正负号规则, 弯曲内力,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。,弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。, 杆件内力分量的正负号规则, 弯曲内力, 杆件内力分量的正负号规则, 弯曲内力, 指定截面上内力分量的确定, 弯曲内力,应用截面法可以确定杆件任意指定横截面上的内力分量, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量,C, 指定横截面上内力分量的确定, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定,例题9-1,一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。,试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定-例题,解：1. 应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。,2. 应用截面法确定C截面上的内力分量,用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。,因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定-例题,解：,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定-例题,解： 3. 应用截面法确定D截面上的内力分量,用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定-例题,解：,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,因为D截面无限接近B截面，所以式中, 弯曲内力, 指定横截面上内力分量的确定-例题,解： 4. 讨论,本例中所选择的研究对象都是C、 D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、 D截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更简单些。, 弯曲内力, 剪力图与弯矩图,第9章 弯曲内力, 剪力方程与弯矩方程, 载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程和弯矩方程。,为了建立剪力方程和弯矩方程，首先建立Oxy坐标系，其中O坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。,确定了分段之后，在每一段中任意取一横截面，这一横截面的坐标为x，从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向，最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程M(x)。, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。,这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的内力分量的方法和过程是相似的。, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。,试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。,例题9-2, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：1确定约束力,根据平衡条件不难求得：,解：2确定控制面和分段,因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述。,3建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：4确定剪力方程和弯矩方程,由左段梁的平衡条件,以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向。, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：,得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为,这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,#, 剪力方程与弯矩方程, 剪力图与弯矩图,例题9-3,悬臂梁在B、C二处分别承受集中力FP和集中力偶M2FPl作用。梁的全长为2l。,试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：1确定控制面和分段,通过考察截开截面的右边部分平衡来建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。,2建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，,由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,得到AC段的剪力方程与弯矩方程：, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图,解：3建立剪力方程和弯矩方程,得到CB段的剪力方程与弯矩方程：,上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。,对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程, 剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程例题,综合 剪力方程和弯矩方程,#, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图,根据剪力方程和弯矩方程画出的图形 剪力图和弯矩图, 剪力图与弯矩图,以平行于梁轴线的坐标轴为横坐标，坐标轴上的点表示横截面所在位置； 以垂直于梁轴线为纵坐标，表示横截面上的剪力或弯矩 剪力图和弯矩图,规定：正剪力画在横坐标之上，负剪力则画在之下； 这样，剪力图的纵坐标是向上的。 正弯矩画在受拉一侧，下缘受拉为正， 下缘受压为负。 这样，弯矩图的纵坐标是向下的。, 剪力图与弯矩图, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力方程与弯矩方程例题, 剪力图与弯矩图, 弯曲内力,作业： 9-1 ( a ) ( c ) ( e ) ( f ) 9-2 ( a ) ( b ) ( e ) ( f ) ( g ) 9-3 ( a ) ( b ) ( c ) ( e ) ( f ) ( i ), 载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系, 剪力图与弯矩图, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,作用在梁上的平面载荷(不包含纵向力)，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和Mx坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是：先在FQx和Mx坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,根据相距dx的两个横截面截处微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：,看以下证明, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,上式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。因此，规定：对于向上的均布载荷，微分关系式中的载荷集度q为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度q为负值。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图,上述微分关系，说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。, 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系, 剪力图与弯矩图, 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处斜率等于对应截面处剪力的数值。, 如果一段梁上没有分布载荷作用，即q0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。, 如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。, 弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图,载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；, 建立FQx和Mx坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点；, 应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。,简支梁受力的大小和方向如图示。,例题9-4, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,根据力矩平衡方程, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 6,解：2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 6,5根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线；弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQx和Mx坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。,解：4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 6,6确定剪力与弯矩的最大绝对值,从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为,(发生在EF段),(发生在D、E截面上), 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 6,从剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是由于维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建议大家自行加以验证。,例题9-5, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图,梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、F 二处的约束力, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 7,解：2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 7,解：4确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 7,5根据微分关系连图线 对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。, 剪力图与弯矩图, 剪力图与弯矩图例题 7,5根据微分关系连图线 对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐