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形式语言与自动机 四、五章部分习题答案形式语言与自动机作业参考答案（仅供参考） 第四章2最左推导：EE+TT+TE+Tb+Tb+T/Fb+F/Fb+b/Fb+b/b 最右推导：EE+TE+T/FE+T/bE+F/bE+b/bT+b/bF+b/bb+b/b8.(1)由题：S,D,E为有用非终结符，删去有关C的生成式，得：G1:SED,Da,Eb(2)由题：S,D,E为有用非终结符，删去有关C的生成式，得：G2:SD,DbS|b,EDS|b.又E不可达，删去有关E得生成式，得：G2:SD,DbS|b9由题：N=S,C,D,E,因为SN，所以P1中加入生成式:S1S|,变换后的无生成式的等价文法为：G1=N1,T,P1,S1N1=S1,S,C,D,EP1:S1S| SDCE,DCC,CEE|b,EDD|a10. 把下列文法变换为无生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：S A1 | A2 , A1 A3 | A4 , A2 A4 | A5 , A3 S | b |, A4 S | a，A5 S | d |解:由算法3，变换为无生成式：N = S, A1,A2,A3,A4,A5 G1 = ( S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 , a,b,d , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | S ,S A1 | A2 ,A1 A3 | A4 ,A2 A4 | A5 ,A3 S | b ,A4 S | a ,A5 S | d ,由算法4，消单生成式：NS1 = S1,S,A1,A2,A3,A4, A5 ,NS = NA1 = NA2 = NA3 = NA4 = NA5 = S, A1,A2,A3,A4, A5 ,运用算法4，则P1变为：S1 a | b | d | ,S a | b | d ,A1 a | b | d ,A2 a | b | d ,A3 a | b | d ,A4 a | b | d ,A5 a | b | d由算法1和算法2，消除无用符号，得到符合题目要求的等价文法：G1 = ( S1 , a,b,d , P1 , S1 ) ，其中生成式P1为：S1 a | b | d |.11. 设2型文法G = ( S,A,B,C,D,E,F , a,b,c , P , S ) , 其中P：S ASB |; A aAS | a ; B SBS | A | bb试将G变换为无生成式,无单生成式,没有无用符号的文法,再将其转换为Chomsky范式.解:由算法3，变换为无生成式：N = S 由S ASB得出S ASB | AB ,由A aAS得出A aAS | aA ,由B SBS得出B SBS | SB | BS |B,由SN 得出S1 | S ,因此无的等效文法G1 = ( S1,S,A,B , a,b,d , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | S ,S ASB | AB ,A aAS | aA | a,B SBS | SB | BS | B| A | bb ,由算法4，消单生成式：NS1 = S1,S , NS = S , NA = A , NB = A,B 由于S ASB | ABP且不是单生成式,故P1中有S1 | ASB | AB ,同理有 S ASB | AB , A aAS | aA | a , B SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,因此生成的无单生成式等效文法为G1 = ( S1,S, A,B , a,b , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | ASB | AB ,S ASB | AB , A aAS | aA | a , B SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,由算法1和算法2，消除无用符号(此题没有无用符号);转化为等价的Chomsky范式的文法:将S1 ASB变换为 S1 AC , C SB ,将S ASB 变换为 S AC ,将A aAS | aA 变换为 A ED | EA, D AS , E a,将B SBS | aAS | aA | a | bb , 变换为 B CS | ED | EA | FF, F b ,由此得出符合题目要求的等价文法：G1 = ( S1,S, A,B,C,D , a,b , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | AC | AB ,S AC | AB , A ED | EA | a , B CS | SB | BS | ED | EA | a | FF ,C SB ,D AS ,E a ,F b .15. 将下列文法变换为等价的Greibach范式文法:S DD | a , D SS | b解:将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位,对于D SS ,用S DD | a 代入得 D DDS | aS | b ,用引理4.2.4,变化为D aS | b | aSD | bD , D DS | DSD ,将D生成式代入S生成式得 S aSD | bD | aSDD | bDD | a ,将D生成式代入D生成式得D aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D ,由此得出等价的Greibach范式文法：G1 = ( S,D,D , a,b , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：S aSD | bD | aSDD | bDD | a ,D aS | b | aSD | bD ,D aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D .A1 A3b | A2a , A2 A1b | A2A2a | b , A3 A1a | A3A3b | a解:转化为等价的Chomsky范式的文法:A1 A3A4 | A2A5 ,A2 A1A4 | A2A6 | b ,A3 A1A5 | A3A7 | a ,A4 b ,A5 a ,A6 A2A5 ,A7 A3A4 ,转化为等价的Greibach范式的文法:将非终结符排序为A1, A2,A3,A4,A5 ,A1为低位A5为高位,对于A2 A1A4 ,用A1 A3A4 | A2A5代入得A2 A3A4A4 | A2 A5A4 | A2A6 | b ,用引理4.2.4,变化为A2 A3A4A4 | b | A3A4A4A2 | bA2 ,A2 A5A4A2 | A6A2 | A5A4 | A6 ,对于A3 A1A5 ,用A1 A3A4 | A2A5代入得A3 A3A4A5 | A2A5A5 | A3A7 | a ,A3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A2生成式代入A3生成式得A3 A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2 A5A5 | bA2A5A5 | A3A7 | a ,用引理4.2.4,变化为A3 b A5A5 | bA2A5A5 | a | b A5A5A3 | bA2A5A5A3 | aA3 ,A3 A4A5 | A4A4A5A5 | A4A4A2A5A5 | A7 | A4A5A3 | A4A4A5A5A3 | A4A4A2A5A5A3 | A7A3 ,对于A6 A2A5 ,将A2生成式代入A6生成式得A6 A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2A5 | bA2A5 ,A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A3生成式代入A6生成式得A6 bA5A5A4A4A5 | bA2A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3A4A4A5 | bA2A5A5A3A4A4A5 | aA3A4A4A5 | bA5A5A4A4A2A5 | bA2A5A5A4A4A2A5 | aA4A4A2A5 | bA5A5A3A4A4A2A5 | bA2A5A5A3A4A4A2A5 | aA3A4A4A2A5 | bA2A5 | b A5 ,对于A7 A3A4 , 将A3生成式代入A7生成式得A7 b A5A5A4 | bA2A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3A4 | bA2A5A5A3A4 | aA3A4 ,将A5,A6生成式代入A2生成式得A2 aA4A2 | bA5A5A4A4A5A2 | bA2A5A5A4A4A5A2 | aA4A4A5A2 | bA5A5A3A4A4A5A2 | bA2A5A5A3A4A4A5A2 | aA3A4A4A5A2 | bA5A5A4A4A2A5 A2 | bA2A5A5A4A4A2A5A2 | aA4A4A2A5A2 | bA5A5A3A4A4A2A5A2 | bA2A5A5A3A4A4A2A5A2 | aA3A4A4A2A5A2 | bA2A5A2 | b A5A2 | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3A4A4A5 | bA2A5A5A3A4A4A5 | aA3A4A4A5 | bA5A5A4A4A2A5 | bA2A5A5A4A4A2A5 | aA4A4A2A5 | bA5A5A3A4A4A2A5 | bA2A5A5A3A4A4A2A5 | aA3A4A4A2A5 | bA2A5 | b A5 ,将A4,A7生成式代入A3生成式得A3 aA5 | aA4A5A5 | aA4A2A5A5 | aA5A3 | aA4A5A5A3 | aA4A2A5A5A3 | b A5A5A4 | bA2A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3A4 | bA2A5A5A3A4 | aA3A4 | bA5A5A4A3 | bA2A5A5A4A3 | a A4A3 | b A5A5A3A4 A3 | bA2A5A5A3A4 A3 | aA3A4A3 ,由此得出等价的Greibach范式文法:G1 = ( S,D,D , a,b , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：A1 A3A4 | A2A5 ,A2 A3A4A4 | b | A3A4A4A2 | bA2 ,A3 b A5A5 | bA2A5A5 | a | bA5A5A3 | bA2A5A5A3 | aA3 ,A4 b ,A5 a ,A6 bA5A5A4A4A5 | bA2A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3A4A4A5 | bA2A5A5A3A4A4A5 | aA3A4A4A5 | bA5A5A4A4A2A5 | bA2A5A5A4A4A2A5 | aA4A4A2A5 | bA5A5A3A4A4A2A5 | bA2A5A5A3A4A4A2A5 | aA3A4A4A2A5 | bA2A5 | b A5 ,A7 b A5A5A4 | bA2A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3A4 | bA2A5A5A3A4 | aA3A4 ,A2 aA4A2 | bA5A5A4A4A5A2 | bA2A5A5A4A4A5A2 | aA4A4A5A2 | bA5A5A3A4A4A5A2 | bA2A5A5A3A4A4A5A2 | aA3A4A4A5A2 | bA5A5A4A4A2A5 A2 | bA2A5A5A4A4A2A5A2 | aA4A4A2A5A2 | bA5A5A3A4A4A2A5A2 | bA2A5A5A3A4A4A2A5A2 | aA3A4A4A2A5A2 | bA2A5A2 | bA5A2 | aA4 | b A5A5A4A4A5 | bA2A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3A4A4A5 | bA2A5A5A3A4A4A5 | aA3A4A4A5 | bA5A5A4A4A2A5 | bA2A5A5A4A4A2A5 | aA4A4A2A5 | bA5A5A3A4A4A2A5 | bA2A5A5A3A4A4A2A5 | aA3A4A4A2A5 | bA2A5 | b A5 ,A3 aA5 | aA4A5A5 | aA4A2A5A5 | aA5A3 | aA4A5A5A3 | aA4A2A5A5A3 | b A5A5A4 | bA2A5A5A4 | aA4 | bA5A5A3A4 | bA2A5A5A3A4 | aA3A4 | bA5A5A4A3 | bA2A5A5A4A3 | a A4 A3 | b A5A5A3A4 A3 | bA2A5A5A3A4 A3 | aA3A4A3 .20. 设文法G有如下得生成式: S aDD , D aS | bS | a , 构造等价的下推自动机.解:根据P162-163的算法,构造下推自动机M,使M按文法G的最左推导方式工作.设M = (Q,T,q0,Z0,F ),其中Q = q0,qf ,T = a,b , = a,b,D,S ,Z0 = S ,F = qf ,定义如下:( q0,S ) = ( q0, aDD ) ,( q0,D ) = ( q0,aS ) , ( q0,bS ) , ( q0,a ) ,( q0,a,a ) = ( q0, ) ,( q0,b,b ) = ( q0, ) ,( q0, ) = ( qf, ) .21. 给出产生语言 L = aibjck | i , j , k0 且 i = j 或者 j = k 的上下文无关文法.你给出的文法是否具有二义性?为什么?解:G=(S,A,B,C,D,E,a,b,c，P，S)P：S AD |EB, A aAb |, B bBc |, D cD |, E aE |文法具有二义性。因为当句子中a,b,c个数相同时，对于存在两个不同的最左(右)推导。如abcL，存在两个不同的最左推导 SADaAbDabDabcCabc 及SEBaEBaBabBcabc 。22. 设下推自动机 M = ( q0,q1,a,b,Z0,X, q0, Z0,),其中如下:(q0,b, Z0) = (q0, XZ0) ,(q0, Z0) = (q0, ) ,A(q0,b, X) = (q0, XX) , (q1,b, X) = (q1, ) ,(q0,b, X) = (q1, X) , (q1,a, Z0) = (q0, Z0) ,试构造文法G产生的语言 L (G) = L(M).解:在G中,N = q0,Z0,q0, q0,Z0,q1, q0,X,q0, q0,X,q1, q1,Z0,q0, q1,Z0,q1, q1,X,q0, q1,X,q1 .S生成式有S q0,Z0,q0 ,S q0,Z0,q1 ,根据(q0,b, Z0) = (q0, XZ0) ,则有q0,Z0,q0 bq0,X,q0 q0,Z0,q0 ,q0,Z0,q0 bq0,X,q1 q1,Z0,q0 ,q0,Z0,q1 bq0,X,q0 q0,Z0,q1 ,q0,Z0,q1 bq0,X,q1 q1,Z0,q1 ,因为有(q0,b, X) = (q0, XX),则有q0,X,q0 bq0,X,q0 q0,X,q0 ,q0, X,q0 bq0,X,q1 q1, X,q0 ,q0, X,q1 bq0,X,q0 q0, X,q1 ,q0, X,q1 bq0,X,q1 q1, X,q1 ,因为有(q0,a, X) = (q1, X),则有q0,X,q0 aq1,X,q0 ,q0,X,q1 aq1,X,q1 ,因为有(q1,a, Z0) = (q0, Z0),则有q1,Z0,q0 aq0,Z0,q0 ,q1,Z0,q1 aq0,Z0,q1 ,因为有(q0, Z0) = (q0, ),则有q0,Z0,q0 ,因为有(q1,b, X) = (q1, ),则有q1,X,q1 利用算法1和算法2,消除无用符号后,得出文法G产生的语言L(G) = N,T,P,S 其中N = S,q0,Z0,q0,q1,Z0,q0,q1,X,q1, q0,X,q1 ,T = a,b ,生成式P如下:S q0,Z0,q0 ,q0,Z0,q0 bq0,X,q1 q1,Z0,q0 ,q0, X,q1 bq0,X,q1 q1, X,q1 ,q0,X,q1 aq1,X,q1 ,q1,Z0,q0 aq0,Z0,q0 ,q0,Z0,q0 ,q0,Z0,q0 .23. 证明下列语言不是上下文无关语言: anbncm | mn ;证明:假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当L且|p时,可取 = apbpcp ,将写为=12034 ,同时满足|203|p2和3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|203|p;如果2和3都只包含a (b) ,即203 = aj (bj ) (jp) ,则当i1时, 12i03i4中会出现a的个数与b的个数不等;如果2和3都只包含c ,即203 = cj (jp),当i大于1时,12i03i4中会出现c的个数大于a的个数 (b的个数);如果2和3分别包含a和b (b和c) ,当i=0时 12i03i4中会出现a, b的个数小于c的个数（或a,b个数不等）这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言. ak | k是质数 ;证明:假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当L且|p时,可取=ak ( kp且k1 ) ,将写为=12034 ,同时满足|203|p ,且|23|=j1 ,则当i=k+1时,|12i03i4|=k+(i-1)*j=k+k*j= k*(1+j) ,k*(1+j)至少包含因子k且k1 ,因此必定不是质数,即12i03i4不属于L.这与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.由 a,b,c 组成的字符串且是含有 a,b,c 的个数相同的所有字符串.证明:假设L是上下文无关语言,由泵浦引理,取常数p,当L且|p时,可取 = akbkck (kp) ,将写为=12034 ,同时满足|203|p2和3不可能同时分别包含a和c,因为在这种情况下,有|203|p;如果2和3都只包含a (b或c) ,即203 = aj (bj或cj ) (jp) ,则当i1时, 12i03i4中会出现a,b,c的个数不再相等;如果2和3分别包含a和b (b和c) , 12i03i4中会出现a,b的个数与c的不等;这些与假设矛盾,故L不是上下文无关语言.24. 设G是Chomsky 范式文法,存在 L (G) ，求在边缘为的推导树中,最长的路径长度与的长度之间的关系.解:设边缘为的推导树中,最长路径长度为n,则它与的长度之间的关系为|2n-1 .因为由Chomsky范式的定义可知,Chomsky范式文法的推导树都是二叉树,在最长路径长度为n的二叉推导树中,满二叉树推出的句子长度最长,为2n-1,因此的长度与其推导树的最长路径长度n的关系可以用上式表示.25. 设计PDA接受下列语言(注意:不要求为确定的) 0m1n | mn ;解:设PDA M = ( Q,T,q0,Z0,F ),其中Q = q0,q1,qf ,T = 0,1 , = 0,1, Z0 ,F = qf ,定义如下:( q0, , Z0 ) = ( q1, Z0 ) ,( q0,0, Z0 ) = ( q0, 0Z0 ) ,( q0,0,0 ) = ( q0, 00 ) ,( q0,1, Z0 ) = ( qf, ) ,( q0,1, 0 ) = ( q1, ) ,( q1,1, 0 ) = ( q1, ) ,( q1, Z0 ) = ( qf, ) ( q1,1, Z0 ) = ( qf, ) ( qf,1, ) = ( qf, ) 0m1n | mn ;解:设PDA M = ( Q,T,q0,Z0