《多维随机变量》PPT课件.ppt

第三章 多维随机变量及其分布,1、二维随机变量,引例 E1:某个人群中任取一人，测量其身高X与体重Y， 试验结果(X,Y); E2:射击一枪，观察弹着点(X,Y). 一般，设E的样本空间S=e, X=X(e),Y=Y(e)均为随机变量，称(X,Y)为二维随机变量（或二维随机向量）。 （ X=X(e)和Y=Y(e)均称为一维随机变量 ）,1、二维随机变量(续1) 1.(X,Y)的分布函数,定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=P(Xx) (Yy) 称为(X,Y)的分布函数，或X和Y联合分布函数.记为 : F(x,y)= PXx,Yy, (为(X,Y)落在D内的概率.),性质： 1. 2.,3.F(x,y)关于x,y均为不减函数; 4.右连续：F(x+0,y)=F(x,y); F(x,y+0)=F(x,y).,1、二维随机变量（续2）,D1: x1xx2,y1yy2,5. P(X,Y) D1= F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1),1、二维随机变量（续3） 2.离散型(X,Y)的分布律,设(X,Y)所有可能值为(xi,yj) ， PX=xi,Y=yj=pij (pij 0) (i,j=1,2,) (*) 则称（*）式为(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。 可表为：,分布函数F(x,y)=,1、二维随机变量（续4）,例1 设X在1，2，3，4中等可能取值，Y 在1至X中等可能取值，求(X,Y)的分布律。 解：pij=PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i, ji,1、二维随机变量（续5） 3. 连续型(X,Y)的概率密度,若二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)可表为:,其中f(x,y) 0，则称(X,Y)为连续型二维随机变量， f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度， 或X和Y的联合概率密度。 性质：,1. f(x,y) 0;,4.在f(x,y)的连续点(x,y)，有,3.,2.,1、二维随机变量（续6）,例2 设(X,Y)具有概率密度,1.求分布函数F(x,y)；2.求概率PYX.,2.PYX=P(X,Y) D,解:F(x,y)=,x,1、二维随机变量（续7） 4. 常见二维连续型随机变量,(1)二维正态分布 设(X,Y)的概率密度为,都是常数，且,其中,则称(X,Y)服从参数为 记为,的二维正态分布。,1、二维随机变量（续8）,(2)二维均匀分布,设(X,Y)的概率密度为,则称(X,Y)服从平面区域D上的均匀分布,SD为D的面积.,1、二维随机变量（续9）,推广： 设试验E的样本空间S=e, Xi=Xi(e) (i=1,2,n)均为随机变量， 则称(X1,X2,Xn) 为n维随机变量 （或n维随机向量）； 对任意个实数x1,x2,xn，称 F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn 为n维随机向量(X1,X2,Xn)的分布函数, 或X1,X2,Xn的联合分布函数.,2、边缘分布,边缘分布函数 (X,Y)中，X、Y均为随机变量，它们的分布函数分别记为FX(x) 和FY(y) ，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。,FX(x)=P(Xx)=PXx,Y+=F(x,+) FY(y)=P(Yy)=PX+,Yy=F(+,y),2、边缘分布(续1) 2.离散型随机变量的边缘分布律,Y的分布律 P.j=PY=yj=,X的分布律 Pi .=PX=xi=,(i=1,2,)称为(X,Y)关于X的边缘分布律,(j=1,2,)称为(X,Y)关于Y的边缘分布律,2、边缘分布(续2) 2.离散型随机变量的边缘分布律,例1 设X在1，2，3，4 中等可能取值，Y 在 1至X中等可能取值,已 求(X,Y)的分布律如下：,求(X,Y)的边缘分布律,解：关于X的边缘分布律,关于Y的边缘分布律,2、边缘分布(续3) 3.连续型随机变量的边缘概率密度,FX(x)=F(x,+)=,X的概率密度 fX(x)=g(x)= 称为(X,Y)关于X的边缘概率密度。,FY(y)=F(+,y)=,Y的概率密度 fY(y)=h(y)= 称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。,2、边缘分布(续4) 3.连续型随机变量的边缘概率密度,例2 设(X,Y)的概率密度为 求边缘概率密度。 解：,2、边缘分布(续5) 3.连续型随机变量的边缘概率密度,解:(X,Y)的概率密度为,例3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度(教材P103),2、边缘分布(续6) 3.连续型随机变量的边缘概率密度,同理,即二维正态分布的两个边缘分布均为一维正态分布。,与无关。,令,3、条件分布,离散型(X,Y)的条件分布律,定义：设(X,Y)的分布律为：PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi. (=,);PY=yj=p.j(=,),若对于固定的j，PY=yj0,则称 PX=xi|Y=yj 为在Y=yj条件下X的条件分布律； 若对于固定的i，PX=xi0,则称 PY=yj|X=xi 为在X=xi条件下Y的条件分布律；,i=1,2,j=1,2,3、条件分布（续1） 1.离散型(X,Y)的条件分布律,PX=xi|Y=yj 0; 2.,性质：,证：,3、条件分布（续2）离散型(X,Y)的条件分布律,例1 设(X,Y)具有分布律： 1.求在X=1的条件下， Y的条件分布律; 2.求在Y=0的条件下， X的条件分布律;,解：1.PY=0|X=1=,PY=1|X=1=,PY=2|X=1=,得 Y的条件分布律:,2.同理，X的条件分布律:,3、条件分布（续3） 离散型(X,Y)的条件分布律,解： X和Y的联合分布律: PX=m,Y=n=p2(1-p)n-2, n=2,3,; m=1,2,n-1(或m=1,2,.;n=m+1,m+2,.),又PX=m=,PY=n=,m=1,2,n=2,3,当n=2,3,时， PY=n0,此条件下X的条件分布律： PX=m|Y=n=1/(n-1) , m=1,2,n-1; 当m=1,2,时， PX=m0,此条件下Y的条件分布律： PY=n|X=m=p(1-p)n-m-1, n=m+1,m+2,例2 一射手击中目标概率为p(0p1),射击直至击中目标两次为止。X表示首次击中目标所进行的次数，Y表示总共射击的次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。,3、条件分布（续4） 2.连续型(X,Y)的条件分布,定义：设(X,Y)的概率密度f(x,y),若对固定的y, fY(y)0,则称,为在Y=y条件下X的条件概率密度.称,fX|Y(x|y)=,为在Y=y条件下X的条件分布函数;类似的,若对固定的x, fX(x)0,fY|X(y|x)=,为在X=x条件下Y的条件概率密度.称,为在X=x条件下Y的条件分布函数.,称,3、条件分布（续5） 2.连续型(X,Y)的条件分布,求在Y=y条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y).,解：fY(y)=,当-10,y=0和y=1/2时 fX|Y(x|y)的图形.,fX|Y(x|y)=,例3 设(X,Y)在圆域x2+y21上服从均匀分布，即其概率密度为,即XU( ),3、条件分布（续6） 2.连续型(X,Y)的条件分布,例4 设X在区间(0,1)上等可能取值，当X=x(0x1)时, Y在区间(x,1)上等可能取值.求Y 的概率密度fY(y).,解：f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x),y,y,0,4、相互独立的随机变量,定义：若对任意(x,y), 有PXx,Yy=PXxPYy 即 F(x,y)=FX(x)FY(y) () 则称X 和Y是相互独立的.,1.当(X,Y)是连续型,再对y求导：,X 和Y相互独立,f(x,y)=fX(x)fY(y),2.当(X,Y)是离散型,X 和Y相互独立,对(X,Y)的任意可能值(xi,yj),有 PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,()式两边对x求导：,4、相互独立的随机变量（续1）,例1 设(X,Y)具有概率密度,解:fX(x)=,f(x,y)=fX(x) fY(y), 因而X,Y是相互独立的。,fY(y)=,问X,Y是否相互独立?,y,x,4、相互独立的随机变量（续2）,例2 设(X,Y)具有分布律：,问X,Y是否相互独立?,解:PX=0,Y=1=1/6=PX=0PY=1; PX=0,Y=2=1/6=PX=0PY=2; PX=1,Y=1=2/6=PX=1PY=1; PX=1,Y=2=2/6=PX=1PY=2. 因而X,Y是相互独立的。,4、相互独立的随机变量（续3）,例3 设,证：(X,Y)的概率密度,边缘概率密度分别为：,当,f(x,y)=fX(x)fY(y)，反之亦然。故得证。,则X,Y相互独立的充要条件为,5 二维随机变量函数的分布,1、二维离散型随机变量函数的分布,设(X,Y)是一个二维随机变量，g(x,y)是一个二元函数，则Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数。,注:1)Z=g(X,Y)是一个一维随机变量； 2)若(X,Y)是离散型的， Z=g(X,Y)一定是离散型的。,二维离散型随机变量函数的分布律的求法： 1.确定g(X,Y)的所有可能取值（可在(X,Y)的分布律表 上完成）； 2.计算相应的概率。,5 二维随机变量函数的分布（续1）,分别求X+Y和2X-Y的分 布律。,解：先求X+Y的所有可能取值,再计算X+Y的分布律,例1 设(X,Y)的分布律为,先求2X-Y的所有可能取值,再计算2X-Y的分布律,解：Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为1, 2的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.,i=0,1,2,j=0,1,2,r =0,1，,即Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布.,5 二维随机变量函数的分布（续2）,Cri,2、二维连续型随机变量函数的分布,分布函数法(设Z=g(X,Y)： 1)确定Z的值域； 2)根据(X ,Y)的分布计算Z的分布函数FZ(z)=PZz； 3)利用概率密度与分布函数的关系确定Z的概率密度。,5 二维随机变量函数的分布（续3）,例 3 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D是由x轴,y轴及直线x+2y=2围成的区域.,求Z=X+2Y的概率密度fZ(z),Z的值域为0,2,当z0时, FZ(z)=PZ z=0,当0 z 2时,解: (X,Y)的概率密度为,故Z的概率密度为,x+2y=2,0,2,1,x+2y=z,z,z/2,5 二维随机变量函数的分布（续4）,D,1,当z2时, FZ(z)=PZ z=1,例4 设(X,Y)的概率密度为 f (x,y),求Z=X+Y的概率密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=PZz=PX+Y z,这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,5 二维随机变量函数的分布（续5）,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,5 二维随机变量函数的分布（续6）,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例5 若X和Y 独立,均服从0，1区间上的均匀分布求Z=X+Y的概率密度 .,解: 由卷积公式,也即,于是,5 二维随机变量函数的分布（续7）,(用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度),例6 若X和Y 独立,均服从N(0,1), 求Z=X+Y的概率密度 .,由卷积公式:,一般,有限个独立正态变量的线性组合仍为正态变量.,5 二维随机变量函数的分布（续8）,解:,所以，ZN(0,2).,5 二维随机变量函数的分布（续9）,例7 若X和Y相互独立,分布函数分别为FX(x),FY(y),求 M=maxX,Y及N=minX,Y的分布函数Fmax(z),Fmin(z) 解：Fmax(z)=PMz=PX z,Y z=FX(z)FY(z); Fmin(z)=P(N z)=1-PNz=1-PXz,Yz =1-PXzPYz=1-1-FX(z)1-FY(z) 推广：设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为,Fmax(z)=F(z)n, Fmin(z)=1-1-F(z)n,特别，设X1,X2,Xn相互独立，且分布函数均为F(x) ，,Fmin(z)=,Fmax(z)=,又M=maxXi, N=minXi 则M,N的分布函数分别为：,(i=1,2,n)，,5 二维随机变量函数的分布（续10）,例8 对某种电子装置的输出测量了5次，得到结果为：X1， X2， X3， X4， X5，设它们是独立同分布的随机变量,概率密度函数为,Fmin(z)=,解：（1）Fmin(z)=1-1-F(z)5,求(1)Z=mi