《习题的作业布置》PPT课件.ppt

4.14.3习题的作业布置,4.1 习题 #1 ; #2 . 4.2 习题 #1 (a),(b),(c); #5 ; #10 . 4.3 习题 #1 (i),(ii),(iii); #3 ; #10 .,函数的概念,从集合X到集合Y的函数f:XY是X到Y的满足下列条件的二元关系f: x(xX!y(yYx,yf) x,y函数f时,记为f(x)= y,(x称为自变量,y称为函数值)函数f的定义域等于其前域:D(f)=X,其值域R(f)记为f(X). 关系fXY是函数关系的充要条件是:f的定义域等于其前域和 xx(x,y,x,yfy=y).,函数的合成,设f:XY和g:YZ是函数关系,则f与g的合成关系有意义,并且是从X到Z的函数关系,称为函数f与g的合成函数,记为g(f). 证:我们知道g(f)是从X到Z的合成关系.由f是函数得 x(xX!y(yYx,yf), 令此唯一的y为y(Y),再由g是函数得 !z(zZy,zg). x(xX!z(zZx,zg(f). 因一般关系的合成运算是结合的,从而函数的合成运算也是结合的.,满射,单射,双射函数的定义,函数f:XY称为是满射函数,如果f(X)=Y; 函数f:XY称为是单射函数,如果 xx(x,xXxyf(x)f(x); 函数f称为是双射函数,如果f同时是满射的和单射的. 满射函数的特性是其陪域与值域等同,即陪域中每个元素都在象中. 刻画单射函数的条件按逆反律也可叙述为: xx(x,xXf(x)=f(x)x=x). 函数f为双射当且仅当其陪域的每个元素是且仅是前域的一个元素的象(从而|X|=|Y|).,例:,g:0,1a,b, 其中,ba,g(x)=(b-a)x+a.因g(x)被x唯一确定,故g是函数.因对每个ya,b,x=(y-a)/(b-a)a,b满足g(x)=y,故g是满射函数.因g(x)=(b-a)x+a= g(x)=(b-a)x+a x = x,故g是单射函数. 结论:g是双射函数. 同理可证:R上的任意线性函数:f(x)=ax+b(a0)都是R上的双射函数.,合成运算保持函数的满射,单射,双射性,对于函数f:XY与g:YZ的合成函数g(f)成立: f满射g满射g(f)满射; f单射g单射g(f)单射; f双射g双射g(f)双射. 的证明:g(f(x)=g(f(x) f(x)=f(x) ( g为单射) x = x ( f为单射) xx(x,xXg(f(x)=g(f(x)x=x). 的证明类似(见教本);直接由和推出.,恒等函数与特征函数,X上的相等关系也是X到自身的函数关系,称为X上的恒等函数,记为1X,即 x(xX1X(x)=x) 1X是双射函数. 令U为全集合,AU.集A的特征函数A:U0,1定义为:,特征函数的性质,A= x(A(x)=0); A=U x(A(x)=1); AB x(A(x)B(x); AB(x)= A(x)B(x). 证:xAB xAxB A(x)=1B(x)=1 A(x)B(x)=1.,集合X上函数f的幂,定义: f0 = 1X; f1 = f; f2 = f(f); fk+1 = f(fk); 性质: f 有任意次幂; 取论述域为X上所有函数的集合:XX,则 f(f为满(单,双)射k(kNfk为满(单,双)射).,4.2#1 下列函数是否满,单,双射?,(d) f:NNN,f(m,n)=mn 解: 0N,f(0,0)=00 没有意义,故f不是函数. (e) f:RR+ =(0,+),f(x)=3x 解: 因3x 是由x决定的唯一正数,故f是函数(指数函数).可证f是双射.它为单射的理由是: xx(f(x)=f(x)x=x)(3x=3x=y x=x=log3 y); f是满射的理由是: y(yR+x(xRf(x)=y) (x=log3 y满足f(x)=y),n元集X上的双射函数P称为n次置换,常令X=1,n,X上的n次置换P可用矩阵表示如下: X上两个n次置换P,P的合成,常记为PP.令 则hi可简便地计算如下:先在的矩阵表示的第i列找到P(i);再找到P的矩阵表示的第P(i)列,其下面的元素就是hi. 不同n次置换的个数是n!.,4.2#10 已知4次置换P求其各次幂,依次计算P的各次幂如下:,若f:XY是双射函数,则其逆关系f也是双射函数 f:YX,证:由定义知: x,yf y,xf 由f是满,单射也推出; y(yY!x(xXy,xf) 换句话说,f是函数.此外, D(f)=f(X)=Y; f(Y)=X=D(f),易见:f也是满,单射,即双射.,X,Y,x,y,f,f,双射函数f:XY的逆关系f所唯一确定的双射函数称为f的逆函数,记为:f-1:YX.,由关系求逆的对合性推出函数求逆的对合性: (f-1)-1 = f. f为可逆函数 f-1为可逆函数. f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; 特别地,对X上任意可逆函数都有 f-1(f)=f(f-1)=1X 证: xX,f(x)=yY, f-1(y)=x, f-1(f(x)= f-1(y)=x=1X(x) f-1(f)=1X,逆象的概念,定义:函数f:XY陪域的子集YY的逆象定义为 f-1(Y)=x|f(x)Y 注意:逆象记号中的f-1与逆函数记号中的f-1不是同一含义;并且Y(YYf-1(Y)X. 例:X=a,b,c,d,Y=0,1,2,3,4,函数f:XY由下图定义. f-1(0)=b; f-1(1)=a,c; f-1(2,3)=d;f-1(2,4)=. f-1(f(a)=f-1(1) =a,ca=f-1(f(a),0,4,1,3,2,a,b,c,d,函数诱导的等价关系,如果函数f:XY的定义域(即前域)非空,则X的下列子集族: =f-1(y)|yYf-1(y) 构成X的一个划分.(yyf-1(y)f-1(y) =,否则x(xXf(x)=yf(x)=y),便与函数定义矛盾) 划分导出的X上等价关系R(xRxf(x)=f(x)是这个关系的刻画)称为函数f诱导的等价关