《大学物理教学课件1》第4章.ppt

大学物理学,本章主要内容：,1、了解动量、角动量的概念 2、掌握动量及角动量定理的内容与应用 3、掌握动量守恒和角动量守恒定律 4、 碰撞,定义,1、瞬时性 2、矢量性 3、相对性,1、质点的动量,在直角坐标系中：,在国际单位制（SI）千克米/秒（kgm/s）,2、质点系的动量,一、动 量,二、质点的动量定理,由牛顿第二定律,表示力的时间累积，叫时间d t 内合外力 的冲量。,1）微分形式：,2）积分形式：,若为恒力：,1、 冲量,2、动量定理,1）微分形式：,2）积分形式：,对上式积分，,在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,1、反映了过程量与状态量的关系。,3、只适用于惯性系。,3、动量定理分量形式,系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。,在直角坐标系中，动量定理的分量式为,1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。,若冲力很大, 其它外力可忽略时, 则：,若其它外力不可忽略时, 则 是合外力的平均。,2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。,即：,4、动量定理的应用 增大、减小冲力作用,三、质点系的动力学方程,由两个质点组成的质点系：,N 个质点组成的质点系：,即,质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。,内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。,1、微分形式：,动量定理的微分式,在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。,2 、积分形式：,由 得：,对上式积分，,四、质点系的动量定理,3 、动量定理分量形式,在直角坐标系中，动量定理的分量式为,系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。,例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的 撞击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？,解 设人的质量为M，从高h 处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为t ，重心下移了s 。,由动量定理得：,设人落地后作匀减速运动到静止，则：,设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：,可能发生骨折。,设人的体重为70 kg，此时平均冲力：,解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落 入车厢的煤 d m 为研究对象。 取水平向右为正。,t 时刻系统的水平总动量：,t + dt 时刻系统的水平总动量:,dt 时间内水平总动量的增量：,由动量定理得：,例题4-2 一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为m = 500 kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计),动量守恒定律,2、 有以下几种情况：,不受外力。,则：,即,系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。, 外力矢量和为零。,1、 并不意味着每个质点的动量是不变的。,3、各速度应是相对同一惯性参考系。,4、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本，应用更广泛。, 内力 外力。,内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。, 若系统所受的合外力虽然不为零,但合外力在某一 方向的分量为零,则系统在该方向上动量守恒。即：,例题4-3 质量为m1 ，仰角为 的炮车发射了一枚质量为m2 的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计摩擦。 求 1）炮弹出口时炮车的速率v1 。 2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离( 炮身长为L ) 。,解 1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。,由x 方向的动量守恒可得：,由相对速度：,得：,水平方向不受外力，系统总动量沿 x 分量守恒。,设炮弹相对地面的速度为v2 。,解得：,“”号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。,2 ）若以u ( t ) 表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车的速率，则此时炮车相对地面的速率,设炮弹经 t 秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：,例题4-4 光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块A脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，OC与竖直方向成60，求弹簧被压缩的距离x.,解：设滑块A离开弹簧时速度为v,在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒,A脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，B以初速v沿圆环轨道上升。,B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒,当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时，满足,联立求解可得,例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车A 和 B，质量分别为m1 、m2，B不动，A 以速度 与B 碰撞，已知两车的的倔强系数分别为k1 、k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？,解 以两小车为研究对象。,其碰撞过程中，系统的机械能守恒；动量守恒。,由牛顿第三定律：,联立上式：,例题补充 质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静止下滑，经路程 l 到 B 点时，木块被一水平射来的子弹击中子弹（m、v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。,解 分为两个阶段：,第一阶段：从 A 运动到 B，匀加速运动：,第二阶段：碰撞阶段,取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向， 内力 外力，可用动量守恒定律求近似解。,可解得：,一、质心,N 个质点组成的系统,位矢分别为,定义：质点系质心的位矢,即,对质量连续分布的质点系,在直角坐标系中：,1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。,2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。,三、质心运动定理,质心的动量等于质点系的总动量,由两个质点组成的质点系,N 个质点组成的质点系：,上一张幻灯片,例题4-6 一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 , 为常量，x 从轻端算起，求其质心。,解 取细杆的左端为坐标原点，在距离坐标原点为 x 处取微元 d x。,例题补充 如图所示，浮吊的质量M = 20 t，从岸上吊起m = 2 t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由600转到300 ，设杆长l = 8 m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。,取质心为坐标原点。设 在由600 转到300 时，吊车在水平方向上移动的距离为x1 ，重物移动的距离为x2 。,解 取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。,在 = 60 0 时,在 = 30 0 时：,大小：,方向：由右手螺旋定则确定。,SI 中 ： kgm 2 / s,质点的角动量与参考点的选择有关。,一、角动量,1）矢量性,2）相对性,原点O 选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。,1、质点角动量,3） 的直角坐标系中的分量式,4）两个特例,做圆周运动质点 m 对圆心O 的角动量,方向： 与 同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系。,结论：做匀速率圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。,做直线运动质点的角动量,质量为m 的质点作直线运动。,大小：,方向：由右手螺旋定则确定。,t时刻质点对O点的角动量为：,大小：,方向：与 同向。,1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则,2）若O 取在直线上，则：,t 时刻质点对O点的角动量为：,2、质点系的角动量,质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。,二、质点的角动量定理,1、力矩,1）大小： ，d 为力臂。,方向：由右手螺旋定则确定。,质量为 m 的质点在力 的作用下作曲线运动。力 对参考点O 的力矩 为:,SI 中 ：Nm,2）在直角坐标系中,3）相对性：依赖于参考点O 的选择。,4）作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。,2、质点的角动量定理,将角动量 对时间求导，可得：,质点的角动量定理,质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。,微分形式,积分形式,角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。,表示作用于质点上的力矩在（t 2t 1）内的 时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。,例题4-8 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: 摆线与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； 摆球到达点 B 时，角速度的大小。,解 任意位置时受力为：重力；张力。,由角动量定理,瞬时角动量：,重力对O 点的力矩：,方向：,张力对O 点的力矩为零。,三、质点系的角动量定理,质点系所受的合外力矩,质点系所受的合内力矩,质点系角动量的时间变化率,微分形式,质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率 。,积分形式,质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。,只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。,作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。,设第 i 个质点与第 j 个质点之间的相互作用力分别为：,两质点相对参考点的位置矢量分别为：,则两个力对参考点的力矩为,大小：,大小：,一、 质点的角动量守恒定律,若质点所受的合力矩,若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律,例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。,1、孤立体，,2、有心力， 与位矢 在同一直线上，从而 。,3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时， 则质点的角动量沿此方向的分量守恒。,解 如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，t时间内行星径矢扫过的面积,由于行星只受有心力作用，其角动量守恒,例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。,面积速度:,例题补充 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动， 其半径为r0 ，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。,解 选取平面上绳穿过的小孔O为原点。,所以小球对O 点的角动量守恒。,因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，则力 对O 点的力矩：,二、质点系的角动量守恒定律, 角动量守恒定律,质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩 之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。,1）质点系中各质点不受外力。,合外力矩等于零可以分三种情况：,2）质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。,3）各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。,合外力为零不一定合外力矩等于零！,例题 质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的 轴O 无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆 组成的系统的动量是否守恒？对于过 O点的轴的角动量是否守恒？,合外力不为零，则系统的动量不守恒。,合外力矩为零，则系统的角动量守恒。,守恒条件：,例:,例题4-11 两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？,解 选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。,系统所受外力如图。,产生力矩的只有重力。,系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。,即两人同时到达顶点。,解 取三个小球和细杆组成的系统， O点为参考点，各系统所受的合外力 矩为零。所以，系统的角动量守恒。,解 取小球与地球为系统，机械能守恒。,由角动量守恒得,联立解得,例题4-13 质量为m的小球A,以速度v0沿质量为M半径为R的地球表面切向水平向右飞出，地轴OO 与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO 相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO轴之间的夹角。,一、碰撞及其分类,完全非弹性碰撞 碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的 速度运动，机械能损失最大。,1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。,不一定接触,2、碰撞的特点：t 极短，内力 外力,3、碰撞分类,弹性碰撞 碰撞后形变消失，无机械能损失。,非弹性碰撞 碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能 变成内能。,无外力：动量守恒 （质点对质点） 无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）,二、守恒定律与碰撞,质点与质点的碰撞动量守恒；,质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守恒；机械能是否守恒，与碰撞种类有关，只有弹性碰撞时，机械能守恒。,质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守恒，但角动量守恒；,三、正碰,两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是沿同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。,1、碰撞定律,设两个质量分别为m1、m2的小球，碰撞前两球的速度分别为v10 、v20 ，碰撞后两球的速度分别为v1 、v2 。,牛顿认为碰撞后的分离速率 与碰撞前两球