控制系统的数学模型(1、2、3节).ppt

2-2 线性系统的输入输出传递函数描述,2-3 非线性数学模型的线性化,2-4 典型环节的数学模型,第二章 线性系统的数学模型,2-1 线性系统的输入输出时间函数描述,2-5 建立数学模型的实验方法简介,2-6 框图及其化简方法,2-7 信号流程图,数学模型：,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。,有了数学模型，就可以应用一定的数学方法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃至对系统进行综合和校正。,对线性定常系统，微分方程是最基本的数学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。,建立数学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种。,2-1 线性系统的输入输出时间函数描述,线性系统微分方程的编写步骤：,1、确定系统或环节的输入量和输出量，选取必要的中间变量。,2、从输入端开始，根据决定各变量之间相互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变量的微分（或代数）方程式。,3、消去中间变量，写出只含有系统输入和输出变量的微分方程。,4、将结果标准化，即含输出量的项写在等式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按微分的高阶到低阶排列。其形式为：,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量和中间变量,R,C,i,例1：写出图示一阶RC电路的微分方程。,这是一个线性定常一阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,令R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。,消去中间变量可得：,问题：,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？,这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？,我们来试一下，由上例结果可得：,在列写电路的微分方程时，必须考虑到后级电路是否对前级电路产生影响。,这种后一级对前一级的影响称为负载效应。,例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很大时，对前级的影响才可以忽略不计。,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例3：写出RLC串联电路的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,解：画出小车受力图。,例4：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 K为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出的系统微分方程。,阻尼器阻力为,由牛顿运动定律，有,弹簧力为,该系统微分方程为：,这些都是线性定常二阶微分方程，即这些系统具有相同形式的数学模型。,此类物理性质不同，但具有相同数学模型的系统称为相似系统，在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。,二阶RC网络：,RLC串联电路：,弹簧-阻尼-质量系统：,相似系统中的相似量,微分方程是描述线性系统的一种基本的数学模型，在确定的初始条件和输入信号作用下，通过对微分方程的求解，便可得到系统的输出响应，从而分析评价系统的性能，研究系统参数的变化对性能的影响。,但是高阶微分方程的求解是比较困难的，而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采用另外一种数学模型传递函数。,2-2 线性系统的输入输出传递函数描述,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：,1、不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。,2、了解系统参数或结构变化对系统动态过程的影响分析,3、可以把对系统性能的要求转化为对传递函数的要求综合,由微分方程转换为传递函数的数学工具是拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。,一、复习拉氏变换,一个函数存在拉氏变换的条件是：,（1）当t0时，f(t)=0 ；,（2）当t0时，f(t)分段连续 ；,（3）当t时，f(t)的上升较est慢。,我们在自动控制系统中遇到的函数大多满足以上条件。,拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。,它的拉氏变换为：,即单位阶跃函数的拉氏变换为,例：求单位阶跃函数的拉氏变换。,拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取象函数。,2、性质：,(1)线性性质,(2)微分定理,(2)微分定理,则,在零初始条件下，,上式表明：在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏变换等于其象函数乘以sn 。利用这个定理就可以将微分运算转换为代数运算。,(3)积分定理,则,上式表明：在零初始条件下，原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以sn 。,(4)初值定理,上式表明：原函数f(t)在t=0时的数值（初始值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s的极限求得。,(5)终值定理,上式表明：原函数f(t)在t 时的数值（稳态值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s 0 的极限求得。,(6)延迟定理,(7)位移定理,(8)相似定理,(9)卷积定理,3、拉氏反变换,由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。,拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数。,1、传递函数的定义,线性定常系统的传递函数是在零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为：,二、传递函数的概念,设线性定常系统的微分方程为：,在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得：,传递函数：,2、传递函数的性质,传递函数的概念只适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。,传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。,传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输出之间的关系，不反映系统内部中间变量如何传递。,物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数；而在同一系统中，取不同的物理量作为输入或输出时，传递函数是不同的。,传递函数是s的有理分式，分母多项式称为系统的特征多项式。一个实际的即物理上可以实现的线性集总参数对象，总有分子的阶次m小于或等于分母的阶次n 。此时称为n阶系统。,3、传递函数的几种表达形式,1）表示为有理分式形式：,式中： 为实常数，一般nm 上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。,2）表示成零点、极点形式：,将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得：,分别称为时间常数，K称为放大系数,显然： ，,3）表示成时间常数形式：,将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得,从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。,式中：,或：,或在实数范围内因式分解，得,4、单位脉冲响应,且,单位脉冲函数的拉氏变换：,当系统输入信号为(t) 时，系统的输出响应称为脉冲响应，用g(t)表示。,4、单位脉冲响应,可见，脉冲响应函数g(t) 的拉氏变换就是传递函数。,脉冲响应,即：,所以，线性定常系统的传递函数和脉冲响应函数包含了关于系统动态特性的相同信息。 通过用脉冲输入信号激励系统并测量系统的响应，能够获得有关系统动态特性的全部信息。即脉冲响应也可作为系统的数学模型。 实际上，与数值较大的系统时间常数相比，持续时间很短的脉动输入信号可以看作脉冲输入信号。,2-3 非线性数学模型的线性化,严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的,例如：1）弹簧的刚度与其形变有关，弹性系数K与 位移x有关，且非常值； 2）电阻、电容、电感等值也与周围环境及经 过它们的电流有关； 3）电动机本身的摩擦、死区等非线性因素也 存在。,常用两种处理方法：1）忽略不计 取常值 2）切线法或小偏差法,特别适用于具有连续变化的非线性特性函数 其本质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一 段直线来代替 数学上的处理是取其泰勒展开式的线性项,具有哪些特点？,例：发电机励磁特性,1）工作原理,2）数学模型：非线性,改变励磁来改变电压,励磁电流只在A点附近有微小变化,正常工作在“额定”状态（A）,线性化：U(t)=K *i(t) K=Const,过A作切线在内近似程度最好,在线性化处理时要注意以下几点：,（1）线性化方程中的参数（如上面的K1,K