经济研究中的计算方法2.ppt

边际问题,边际：经济变量的变化率。 边际分析：利用导数研究经济变量的边 际变化的方法。,边际分析方法（marginal analysismarginal adding analysis) 边际分析法是十九世纪产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L. Walras)、杰文斯(W.S. Jevons)、戈森(H.H. Gossen)、门格尔(C. Menger)、埃奇沃思(F.Y. Edgeworth)、马歇尔(A. Marshall)、费希尔(I. Fisher)、克拉克(J.B. Clark)以及庞巴维克(E. von Bohm-Bawerk)等人。,边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性， 杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”。 在西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法。西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯。他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途。,1824年，汤普逊(W.Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件。功利主义创始人边沁(J.Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理。,在西方经济学中，我们把研究一种可变因素的数量变动会对其他可变因素的变动产生多大影响的方法，称为边际分析方法。 边际分析法就是运用导数和微分方法研究经济运行中微增量的变化，用以分析各经济变量之间的相互关系及变化过程的一种方法。 边际即“额外的”、“追加”的意思，指处在边缘上的“已经追加上的最后一个单位”，或“可能追加的下一个单位”，属于导数和微分的概念，就是指在函数关系中，自变量发生微量变动时，在边际上因变量的变化，边际值表现为两个微增量的比。,这种分析方法广泛运用于经济行为和经济变量的分析过程，如对效用、成本、产量、收益、利润、消费、储蓄、投资、要素效率等等的分析多有边际概念。 边际分析法之所以成为西方经济学研究中的非常重要的方法，是由西方经济学的对象决定的。由于西方经济学研究资源最优效率的使用，而最优点实际就是函数的极值点，根据高等数学的知识，很容易理解，数学方法求得极值就是对函数求导数，当它的一阶导数为0时，即找到极值点。,导数的经济学意义-边际函数,称为在 x= x0 点的边际函数值。,（1） 边际成本,产量增加一个单位时所增加的总成本。 （例子：盒饭问题）,则边际成本,即边际成本是总成本关于产量的导数，其经济意义为,（2）边际收入,多销售一个单位产品所增加的销售总收入。,称为销售量为,时该产品的边际收入。,收入函数的变化率,（3） 边际利润,1、边际成本：成本函数 C(x) 的导函数,2、边际收入：收益函数 R (x) 的导函数,2、边际利润：利润函数 L (x) 的导函数,注：边际成本可以反映在 x 处成本增长的快慢，,利润函数 L (x) 取最大值的必要条件：,利润最大的必要条件：边际收益等于边际成本,解：（1）,例2.设某商品售价 元时,每天的需求量为,解: 收益函数为,当产量为7个单位时，利润最大，此时售价为 元.,某工厂每天生产商品,单位的成本为,(元).,如果工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，,利润函数为,令,解. 平均成本函数,又,故,有极小值，,边际效用递减规律,早在1854年，德国经济学家戈森就曾提出一个有关欲望的法则：同一享乐不断重复，则其带来的享受逐渐递减。由此变出经济学中著名的戈森第一定律，即边际效用递减规律.,19世纪末期，英国经济学家A马歇尔把这一规律称为“人类本性的这种平凡而基本的倾向”，并把这一规律作为解释消费者行为与需求原理的基础。,边际效用递减规律是经济学上的一个基本规律,有人说是公理. 边际效用（Marginal Utility）,有时也称为边际贡献，指消费者在一定时间内增加一个单位商品消费所得到的效用量的增量。边际效用递减规律（Law of Diminishing Marginal Utility）说的是：在一定时间内，在其它商品的消费数量保持不变的条件下，消费者从某种商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量，即边际效用，是递减的（虽然带来的总效用仍然是增加的）。,通俗地讲：当你极度口渴的时候十分需要喝水，你喝下的第一杯水是最解燃眉之急、最畅快的，但随着口渴程度降低，你对下一杯水的渴望值也不断减少，当你喝到完全不渴的时候即是边际，这时候再喝下去甚至会感到不适，再继续喝下去会越来越感到不适（负效用）。,心理或生理的解释,效用是消费者的心理感受，消费某种物品实际上就是提供一种刺激，使人有一种满足的感受，或心理上有某种反应。消费某种物品时，开始的刺激一定大，从而人的满足程度就高。但不断消费同一种物品，即同一种刺激不断反复时，人在心理上的兴奋程度或满足必然减少。或者说，随着消费数量的增加，效用不断累积，新增加的消费所带来的效用增加越来越微不足道。19世纪的心理学家韦伯和费克纳通过心理实验验证了这一现象，并命名为韦伯费克纳边际影响递减规律。这一规律也可以用来解释边际效用递减规律。,资源配置说,设想每种物品都有几种用途，且可按重要性分成等级。消费者随着获得该物品数量的增加，会将其逐次用到不重要的用途上去。这本身就说明边际效用是递减的。比如水，按重要程度递减的顺序，分别由饮用、洗浴、洗衣、浇花等多种用途。水很少时，它被用作最重要的用途如饮用。随着得到的水的量的增加，它会被逐次用到洗浴、洗衣、浇花等相对越来越不重要的用途上。这说明水的边际效用是递减的。,凯恩斯的国民收入乘数原理,凯恩斯在消费倾向的基础上，建立了一个乘数原理，乘数原理的经济含义可以归结为，投资变动给国民收入带来的影响，要比投资变动更大，这种变动往往是投资的变动的倍数。通过乘数原理，凯恩斯得到了国民收入（ Y ）与投资量（ I ）之间的确切关系，将其经济理论导向经济政策，并指导经济实践。,所谓乘数，是指在一定的边际消费倾向条件下，投资的增加（或减少）可导致国民收入和就业量若干倍的增加（或减少）。收入增量与投资增量之比即为投资乘数。以公式表示为： K=Y/I 其中，K表示乘数，Y表示收入增量，I表示投资增量。,同时，由于投资增加而引起的总收入增加中还包括由此而间接引起的消费增量（C）在内，即Y=I +C，这使投资乘数的大小与消费倾向有着密切的关系，两者之间的关系可用数学公式推导如下： K=Y/I=Y/(Y-C)=1/(1-C/Y) 其中， C/Y为边际消费倾向。由上式可见，边际消费倾向越高，投资乘数越大，反之则投资乘数越小。,假定边际消费倾向=4/5，增加投资100万，则增加总收入： 100+100*4/5+100*4/5*4/5+ -=500,比如说，我花费1000元购买了一套衣服，服装加工者和布料生产者因此增加了1000元收入。如果他们的边际消费倾向均为0.75(或者说边际储蓄倾向为0.25)他们会支出750元购买他们需要的消费品。这些消费品的生产者也会增加750元的收入，如果他们的边际消费倾向也是0.75,他们又会支出750*0.75=625.50元。如此继续下去，每一轮新支出都是上一轮收入的3/4（即0.75).,这样，最初的1000元消费就导致了一系列次一轮的再消费支出。尽管这一系列的再支出永无止境，但其数值却一次比一次减少。最终的总和是一个有限的量。即： 1000*(1+c+c2+c3+cn)=1000*(1/s)=1000*(1/0.25)=4000,如果另外一个国家的人民生活很简朴，将收入的大部分都储蓄起来，比如边际储蓄倾向是s=0.80 ，亦即边际消费倾向c=0.2 ，那么这个国家的经济规模增长情况如何呢？ =1/s=1/0.8=1.125 也就是说，每新增加1000单位的收入，只能推动国民经济增长125个单位。与前面相比，差别很大。,政府的财政支出（包括政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出。政府在商品与服务上的一项采购，将会引发一系列的再支出：比如政府花费1500亿RMB修建青藏铁路，修路工和他的公司就会用其收入的一部分购买消费品；这又会引起出售消费品的人收入的增加，而增加的收入的一部分又会花掉。按前面的例子，当=4时，那么政府所增加的1500亿人民币支出，将会增加国民收入6000亿RMB ！,约翰梅纳德凯恩斯（John Maynard Keynes），现代西方经济学最有影响的经济学家之一，他创立的宏观经济学与弗洛伊德所创的精神分析法和爱因斯坦发现的相对论一起并称为二十世纪人类知识界的三大革命。,二战以来最杰出的经济学家之一、英国人约翰梅纳德凯恩斯（1883-1946）。凯恩斯毕业于剑桥大学，除了在剑桥大学任教外，还长期担任英国政府要职。1929-1933年世界经济总危机爆发后，他担任英国内阁财政经济顾问委员会主席。二战期间任英格兰银行董事。1944年他率领英国代表团参加在美国布雷顿森林城召开的国际货币 金融 会议，以后又担任了国际货币基金组织（IMF）和国际复兴开发银行（世界银行前身）的董事。,在繁忙的教书、写书和处理政务之外，他还投资经营着数家个人 企业 ，而且规模可观，非常成功！此外，他还有一位年轻、漂亮、温柔、小他二十岁的前苏联国家芭蕾舞团的着名演员做他的妻子。凯恩斯写过许多论文和专着。最着名的就是就业、利息和货币通论。在这本书中他把自己的学说发展成一个完整的 理论 体系。经济史学家把通论的出版称为经济理论中的“凯恩斯革命”。甚至有人把他的贡献与哥白尼的天文学、达尔文的进化论相提并论，把通论与亚当斯密的国富论、马克思的资本论并列为经济学说史上的三大着作。,凯恩斯不是一个社会主义者，然而他的理论却非常适合计划经济模式。就象另一位着名的经济学家琼罗宾逊夫人评论的那样，如果那些社会主义的实践者们能够真正地把凯恩斯理论 应用 于实践，那么社会主义的经济成就将是十分惊人的！这是因为凯恩斯理论是一种十分有效的宏观调控工具，社会主义国家政府的权力又比较集中，二者的充分结合与自如运用，将会产生巨大的创造力！它不象在西方市场经济国家，政府的权力十分有限，人民担心政府的权力太大会侵害公民的人身自由和个人财产安全，因此政府的权力受到许多限制，使许多宏观调控工具不能有效地发挥作用。在1937年的德文版通论序言中，凯恩斯也说：我的理论最适合集权国家和极权国家。,凯恩斯理论后来经过许多着名经济学家如库兹涅克、汉森、萨缪尔森、克莱因等的改造和发扬光大，逐渐使凯恩斯理论“政策化”，并为有关的政策执行部门所应用，产生了巨大的 影响 ，实现了“充分就业”和“稳定中求发展”，并逐渐熨平和减少了商业周期的危害。尤其是他的“收入乘数原理”对国民经济的计划调节与管理是十分有用的。,第二章 插 值 法,主要知识点,Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)； 牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质; 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项； 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。,插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,插值的几何意义,插值多项式的几何意义,插值唯一性定理,定理：(唯一性) 满足 的 n 阶插值,多项式是唯一存在的。,存在唯一性定理证明,设所要构造的插值多项式为：,由插值条件,得到如下线性代数方程组：,存在唯一性定理证明(续),此方程组的系数行列式为,范得蒙行列式 ！,D 0，,因此，Pn(x)由a0, a1, an唯一确定。,插值方法,一、解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为 ，将 个节点的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。,拉格朗日插值公式,拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,n)的构造。,线性插值函数,x0,x1,(x0 ，y0),(x1，y1),P1(x),f(x),可见 是过 和 两点的直线。,抛物插值函数,x0,x1,x2,p2(x) f(x),f(x),因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,N次插值函数,设连续函数 在a, b上对给定n + 1个不同结点：,分别取函数值,其中,试构造一个次数不超过n的插值多项式,使之满足条件,i = 0, 1, 2, n,一次Lagrange插值多项式(1),已知函数 在点 上的值为 ，要求多项式 ，使 ， 。其几何意义，就是通过两点 的一条直线，如图所示。,一次Lagrange插值多项式(2),一次插值多项式,一次Lagrange插值多项式(3),由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为 显然有：,一次Lagrange插值多项式(4),记,可以看出,的线性组合得到，其系数分别为 ，,称 为节点 , 的线性插值基函数,一次Lagrange插值多项式(5),线性插值基函数,满足下述条件,并且他们都是一次函数。,注意他们的特点