空间向量的坐标运算11.ppt

3.1.4空间向量的直角坐标运算,空间向量分解定理,定理,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i, j, k这个基底叫做单位正交基底,单位向量i, j, k都叫做坐标向量.,一、空间向量的直角坐标运算,1.空间直角坐标系与原点:,O-xyz,2.坐标向量:,3.坐标平面,通过每两个坐标轴的平面，分别称为xOy平面, yOz平面, zOx平面.,4.右手直角坐标系,空间直角坐标系中的坐标,横坐标a1，纵坐标a2，竖坐标a3 .,在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(a1,a2,a3),使,以 建立空间直角坐标系Oxyz,若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则,设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则,a+b=,(a1 + b1 ， a2 + b2 ，a3+ b3)，,a-b=,(a1 - b1 ， a2 - b2 ，a3- b3)，,a=,( a1 ， a2 ，a3)(为实数)，,ab=,a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 .,则 (x，y，z)就是P的坐标, 即P(x，y，z) .,设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2),AB=OB-OA = (x2，y2，z2)-(x1，y1，z1) =( x2 -x1，y2-y1，z2-z1).,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,中点坐标公式,A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 设M为AB中点，M点坐标为M(x0,yo,zo)，,其中x0=(x1+x2)/2 ，y0=(y1+y2)/2 ，z0=(z1+z2)/2.,二、空间向量平行和垂直的条件,ab (b0)a=b,共线,垂直,例1 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a+2b-c,求:p, q, pq.,解:p=a-b =(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，,q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，,pq=(1,0,-1)(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1.,例题,例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向量n使na,且nb.,解:设n=(x, y, z,)则,na=(x, y, z,)(-2,2,0)=-2x+2y=0,nb=(x, y, z,)(-2,0,2)=-2x+2z=0,所以y=x, z=x,于是n= (x, x, x)=x(1,1,1),显然当x取任意实数时,可以得到无数个 向量都满足题意.,三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).,空间两点间的距离公式,例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求,线段 AB的中点坐标和长度.,解：设M(x,y,z)是AB的中点，则,例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求,到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.,解：设点P到A，B的距离相等，则,化简，得 4x+6y-8z+7=0.,即到A, B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.,例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=