线性代数第三章(一二节向量与线性相关性).ppt

第 三 章 向量组的线性相关性与n维向量空间,第一节 n维向量,定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , . , an 所组成的,数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i,个分量，n称为向量的维数.,1. 向量的定义,n 维列 向 量,n 维行 向 量,n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别,称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。,通常, n 维向量的全体所组成的集合,Rn = x =(x1,x2, . ,xn)T | x1, x2, . , xn R ,叫做 n 维向量空间.,2. 向量的表示：,常用小写字母a，b，c或者希腊字母 ,表示。,3. 向量的运算：线性运算,运算的定义与性质与矩阵相同。,第二节 向量组的线性相关性,一. 向量组,就是一个由 4 个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的向量组。,定义1：若干个同维数的列（行）向量组成的集合叫做向量组.,例,引例1：,n 个未知数 m 个方程的非齐次线性方程组,Ax = b,代数形式,矩阵形式,若令,x1a1 + x2a2 + . + xnan = b。,向量形式,引例2： 同样关于n 个未知数 m 个方程的齐次线性方程组也有这三种表达形式。,代数形式,Ax = 0,矩阵形式,x1a1 + x2a2 + . + xnan = 0。,向量形式,其中，A，x，b 及1, 2, . , n,的定义与,非齐次方程组（I）相同。,引例1：非齐次线性方程组（）有解 存在一组数x1, x2, . , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + . + xnan = b。,引例2：齐次线性方程组（）有非零解 存在一组不全为零的数x1, x2, . , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + . + xnan = 0。,从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个非常重要的两个概念。,1. 定义2：给定向量组 A: a1 , a2 , . , am ,和向量，如果存在一组实数 k1 , k2 , . , km ，使得,则称向量是a1 , a2 , . , am的一个线性组合或者说可由a1 , a2 , . , am线性表示（出）， k1 , k2 , . km为这个线性组合的组合系数。,=k1a1 + k2a2 + . +kmam,二、线性表示（出）,2. 性质：,（1） 非齐次线性方程组（）有解b可由,1, 2, . , n线性表示；,非齐次线性方程组（）有唯一解b可由,1, 2, . , n线性表示；且表示方式唯一。,（2） 0向量可由同型的任意向量组线性表示。,0=0a1 + 0a2 + . +0am,（3） 向量组1, 2, . , n中的任意一 个向量都可由该向量组线性表示。,ai=0a1 + 0a2 + . 0ai-1 + 1ai + 0ai+1 + . 0an,1. 定义 3 给定向量组 A: a1 , a2 , . , am ,则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无关。,k1a1 + k2a2 + . +kmam = 0,若存在不全为零的实数 k1 , k2 , . , km , 使,三、线性相关与线性无关,若向量组 A: a1 , a2 , . , am 线性无关， 且k1a1 + k2a2 + . +kmam = 0,则有,K1=k2= . =km= 0。,2. 性质,（1）由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关,相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例.,（2）由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性,的充要条件是: a = 0.,（3）含有0向量的向量组必线性相关。,（4）向量组线性相关的充分必要条件是该向量,有,因 k1 , k2 , . , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便,k1a1 + k2a2 + . + kmam = 0 .,使,性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , . , km,必要性 设向量组 A: a1 , a2 , . , am 线,组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。,证明,即 a1 能由 a2 , . , am 线性表示.,1a1 + . + m - 1am - 1+ (-1)am = 0,am = 1a1 + . + m - 1am - 1 , 于是,线性表示, 即有,m-1 个向量线性表示, 不妨设 am 能由 a1 , . , am-1,充分性 设向量组 A 中有某个向量能由其余,因为 1 , . , m - 1 , -1 这 m 个数不全为 0 (至少 -1, 0)，所以向量组线性相关. 证毕,（5）若向量可由向量组 A: a1 , a2 , . , am 线性表示，则表示唯一的充要条件是向量组,a1 , a2 , . , am 线性无关。, = k1a1 + . + km am ,两组不全相等的数k1 , . , km,和l1 , . , lm 满足,充分性（反证法） 若表示方式不惟一，则存在,两式相减得：, = l1a1 + . + lm am ,(k1-l1)a1 + . + (km-lm)am =0,至少有一个ki-li 0 (i=1,2,m)， 这与向量组a1 , a2 , . , am 线性无关矛盾。,必要性（学生自己思考）,(6) 设向量组 A: a1 , a2 , . , am 线性无关，而,b 必能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一。,向量组 B : a1 , a2 , . , am , b 线性相关, 则向量,（7）M，N是两个向量组， ，即M为N的部分组，则有：,若N线性无关 = M一定线性无关。,若M线性相关 = N一定线性相关。,换言之，若一个向量组线性相关，增加向量个数， 则新的向量组一定线性相关；若一个向量组线性无关，减少向量个数，则新的向量组一定线性无关。,若一个向量组线性无关，增加每个向量的维数，则新的向量组一定线性无关；若一个向量组线性相关，减少每个向量维数，则新的向量组一定线性相关。,（8）（书上定理3.1）设A: a1 , a2 , . , am是一个给定的向量组，用它们作为行向量构造矩阵A，则a1 , a2 , . , am线性相关的充要条件是A经过初等行变换得到的阶梯形矩阵有零行。,（9） 若a1 , a2 , . , an是n维向量组，则 a1 , a2 , . , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0.,若a1 , a2 , . , an是n维向量组，则 a1 , a2 , . , an线性无关的充要条件是其 构造的行列式值非0.,（10） 若a1 , a2 , . , am是n维向量组，且 mn,则 a1 , a2 , . , am线性相关。,特别地，n+1个n维向量必线性相关。,例1 向量组a1 , a2 , a3线性无关，且有 1= a1 + a2, 2 = a2 + a3 , 3 = a1 + a3， 证明1 , 2 , 3线性无关。,例2 判断三维向量组a1 =（2，1，1）, a2 =（1，2，-1）, a3 =（-2，3，0）的线性相关性。,练习：课本P65的例5和例6。,例 3 设向量组 a1 , a2 , a3 线性相关，向量组,a2 , a3 , a4 线性无关，证明,(1) a1 能由 a2 , a3 线性表示；,(2) a4 不能由 a1 , a2 , a3 线性表示.,证明:,(1) 因 a2 , a3 , a4 线性无关，由性质7,知 a2 , a3