创新设计2011第九章直线平面简单几何体.ppt

掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念/理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念,第52课时 空间的角,1直线与平面所成的角 (1)一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成 的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和 平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0的角 (2)已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为，则cos cos 1cos 2.,2三种空间角的向量法计算公式 (1)异面直线a，b所成的角：cos |cosa，b|；其中a，b分别为直 线a，b的 (2)直线a与平面(法向量n)所成的角：sin |cosa，n|；其中a为 直线a的 ,方向向量,方向向量,法向量,(3)锐二面角：cos |cosm，n|，其中m，n为两个的 ,1如右图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60二面 角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是( ),答案：,2已知AB平面，垂足为B，BC为AC在内的射影，CD，ACD 60，BCD45，则AC与平面所成的角为( ) A90 B60 C45 D30 答案：C,3如右图，在三棱锥PABC中，PAPBPCBC， 且BAC ，则PA与 底面ABC所成角为_ 答案：,4已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对 于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的 大小是_ 答案：90,1. 几何法：解决直线与平面所成角的问题，关键是找到斜线在平面内的射影， 将直线与平面所成的角转化成线线所成的角 2 向量法：可利用直线的方向向量和平面的法向量，求直线与平面所成的角,【例1】如右图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成 的角,解答：(1)如右图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK，F是AD的中点，AEFK， 则CFK为异面直线AE与CF所成的角(或其补角)，设正四面体棱长为a，则可得 在RtKEC中， CK 在CFK中，cosCFK ，CFKarccos ， 即异面直线AE和CF所成角为arccos .,(2)在正四面体ABCD中，因为各棱长都相等，E是BC的中点，所以BCAE，BCDE，BC面AED(如上图所示)，面ADE面BCD，交线为DE，过A作AODE于O，则AO面BCD，过F作FHDE于H，则FH面BCD，连结CH，FCH为CF与面BCD所成的角，FH AO，FH a，sinFCH ，CF与平面BCD所成的角为arcsin .,变式1.如右图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分别为CD、PB的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)设AB BC，求AC与 平面AEF所成的角的大小 .,解答：解法一：如图，(1)证明：连结EP.PD底面ABCD，DE在平面ABCD内，PDDE.又CEED，PDADBC. RtBCERtPDE. PEBE.F为PB中点，EFPB.由三垂线定理得PAAB.在RtPAB中PFAF，又PEBEEA.EFPEFA.EFFA. PB、FA为平面PAB内的相交直线EF平面PAB.,(2)不妨设BC1，则ADPD1.AB ，PA ，AC .PAB为等腰直角三角形，且PB2，F为其斜边中点，BF1，且AFPB.PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF.,连结BE交AC于G，作GHBP交EF于H，则GH平面AEF.GAH为AC与平面AEF所成的角由EGCBGA可知 由EGHEBF可知GH BF .sinGAH . AC与平面AEF所成的角为arcsin .,解法二：以D为坐标原点，DA的长为单位1，建立如图所示的空间直角坐标系 (1)证明：设E(a,0,0)，其中a0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a， ， ) (2a,1，1)， (2a,0,0)， EFPB， ，EFAB，又PB平面PAB，AB平面PAB，PBABB.EF平面PAB.,(2)由AB BC，得a ，可得 ,异面直线AC、PB所成的角为arccos ， .PBAF，又PBEF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，PB平面AEF.AC与平面AEF所成的角为 .,求二面角的关键是找到二面角的平面角，找二面角的方法主要有以下几种： 方法一(棱上一点定义法)； 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图所示，在二面角a的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OAa，在平面内过点O作BOa，则AOB为二面角a的平面角,方法二(空间一点垂面法)； 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角 如图所示，已知二面角l，过空间一点P作PA于点A，PB于点B，设PA、PB确定的平面为，设l于一点O，连结OA、OB. 因为PA，l，所以PAl，同理PBl，所以l，所以lOA，lOB，所以AOB为二面角l的平面角 方法三(面上一点垂线法)如图所示，过二面角l中内一点P作PA，A为垂足，作AOl，垂足为O，连接PO，则由三垂线定理POl，AOP为二面角l的平面角 方法四：射影法：利用面积射影公式S射S原cos，其中S原为原斜面的面积，S射为射影的面积，为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来,【例2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14， M 为B1C1上一点，且B1M2，点N在线段A1D上，A1DAN. 求(1)cos ； (2)直线AD与平面ANM所成的角的正切； (3)平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值,解答：(1)以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴则D(0,8,0)，A1(0,0,4)，M(5,2,4)， (0,8，4)， (5,2,4) 0，cos ， 0.,(2)由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，A1D平面AMN，垂足为N.因此AD与平面ANM所成的角即是DAN.tanDANtanAA1D2. (3)AA1平面ABCD，A1N平面AMN， 和 分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量 设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为，则 cos cos ， cosAA1NcosAA1D .,变式2.如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角 线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落 在AB上，求这时二面角BACD的大小,解答：如图，过E点作EFAC，垂足为F，连结DF，由三垂线定理知DFAC，则DFE为二面角DACB的平面角 在RtADC中，DF ， 在RtAFD中，AF ， 由ADFAEF，EF ， 在RtDEF中，cosDFE ，DFEarccos .,1. 利用平面的法向量可证明直线与平面平行，平面与平面平行等问题； 2利用平面的法向量，可计算直线与平面所成的角，如例1变式 3求二面角的大小 (1)若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则 二面角的大小就是向量 的夹角(如图),(2)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则在图中二面角的大小为，在图中二面角的大小为.,【例3】 如右图，ABCA1B1C1是正棱柱，D是AC的中点 (1)求证：AB1平面DBC1； (2)若AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数,解答：(1)证明：A1B1C1ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形连结B1C交BC1于E，则B1EEC，连结DE.在AB1C中，ADDC，DEAB1，又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1. (2)如右图，在面ABC内，过D作DFBC于F，则DF平面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1内的射影,解法一：AB1BC1，由(1)知AB1DE，DEBC1，由三垂线定理的逆定理可知BC1EF，DEF是二面角的平面角，设为， 设ACa，则CD a，ABC是正三角形， 在RtDCF中，DFDCsinDCF a， CFDCcosDCF a.取BC的中点G，EBEC，GEBC. 在RtBEF中，EF2BFGF，又BFBCFC a，GF a， tanDEF 1，DEF45，故二面角为45.,解法二：BDAC，又平面ABC平面ACC1A1， BD平面ACC1A1，则BDDC1， 又DEBC1，BEEC1，BDC1为等腰直角三角形设BCa，则BDBCsinACB a， 在等腰RtBDC1中，DEBDsinDBE a，又DF a， 在RtDFE中，sinDEF ，DEF45， 故所求二面角为45.,解法三：取B1C1的中点O，如右图，建立直角坐标系Oxyz，设正三棱锥底面边长ABa，高AA1h，则A(0，h， a)， B1( ，0,0)，C1( ，0,0)，B( ，h,0)，C( ，h,0，)，D( ，h， a)， ，由AB1BC1得， h20，即h ，设平面BDC1的法向量为n1(1，y，z)，由n1 0，n1 0，得 解得n1(1， ， )，又平面BCC1的法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2 ，则n1，n245，因此所求二面角为45.,1求直线和平面所成的角与利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理，都要通过 选点，过该点作出一个平面的垂线，如例3. 2通过上述例题解法可看出求二面角： (1)可利用二面角的定义作二面角的平面角；(2)可利用垂直于棱的平面去截二 面角，得到二面角的平面角；(3)可利用三垂线定理作出二面角的平面角； (4)可利用面积射影公式；(5)还可利用空间向量进行计算等等 3在解决折叠有关问题时： (1)要明确在折痕同侧半平面内的点，直线和平面位置关系是不变的；(2) 折前与折痕垂直的直线而折后恰是所折二面角的平面角 4在解决直线与平面所成角或二面角时要重视平面法向量的应用.,【方法规律】,(2009全国)(本题满分12分)如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD ，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM60. (1)证明：M是侧棱SC的中点；(2)求二面角SAMB的大小.,【考卷实录】,解答：(1)证明：由SD底面ABCD知：平面SDC底面ABCD，过M作MHCD，垂足为H，则MH底面ABCD，故SDMH.设MHx，则 HCx，HD2x，MB ，MA2HM2HD2DA2x2(2x)22x24x6，在AMB中，cosABM 即 ，解得x1.则H为DC中点，故M为SC中点,【答题模板】,(2)由(1)知AMBM2，即ABM为正三角形， 则SA2AM2SM2，即AMS为直角三角形，SMA90，分别取AM、AS中点E、F，连接BE、EF、BF，则EFAM，