函数的单调性与最大(小)值.ppt

2.2 函数的单调性与最大(小)值,要点梳理 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义,基础知识 自主学习,f（x1）f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_或_，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性， _叫做f（x）的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f（x）M,f（x0）=M,f（x）M,f（x0）=M,基础自测 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 ( ) A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D. 解析 y=-x+1,y=x2-4x+5, 分别为一次函 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可 以看出在（0，2）上都是减函数.,B,2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 （ ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 解析 f（x）在R上是增函数， 对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意xR都无f(x)=0,则f(x)=0无根.,C,3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 （ ） A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D.（-,-1)(1,+) 解析 由已知条件： 不等式等价于 解得-1x1,且x0.,C,4.函数y=(2k+1)x+b在（-，+）上是减函数，则 ( ) A. B. C. D. 解析 使y=(2k+1)x+b在（-，+）上是减函数, 则2k+10，即,D,5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题： (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为_. 解析 依据增函数的定义可知，对于，当自变 量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推 出函数y=f（x）为增函数.,题型一 函数单调性的判断 【例1】已知函数 证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数. （1）用函数单调性的定义. （2）用导数法. 证明 方法一 任取x1,x2(-1,+), 不妨设x10,思维启迪,题型分类 深度剖析,又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.,方法二 求导数得 a1,当x-1时，axln a0, f(x)0在（-1，+）上恒成立， 则f(x)在（-1,+）上为增函数. 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则可以利用导数解之.,探究提高,知能迁移1 试讨论函数 x(-1,1)的单 调性（其中a0）. 解 方法一 根据单调性的定义求解. 设-10, 即-10.,因此，当a0时，f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),此时函数为减函数； 当a0时，f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),此时函数f(x)为增函数. 方法二,当a0时，-10时，f（x)在（-1，1）上为减函数； a0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.,题型二 复合函数的单调性 【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减 函数的区间是 ( ) A.(3,6) B.(-1,0) C.(1,2) D.（-3,-1） 先求得函数的定义域,然后再结合二次 函数、对数函数的单调性进行考虑. 解析 由x2-2x-30,得x3,结合二次函数的 对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是 减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.,思维启迪,D,（1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”， 即f(u)与g(x)有相同的单调性，则fg(x)必为增函 数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： 求出复合函数的定义域； 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； 根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.,探究提高,知能迁移2 函数y= 的递减区间为 （ ） A.(1,+) B. C. D. 解析 作出t=2x2-3x+1的示意 图如图所示， 0 1, 递减. 要使 递减, t应该大于0且递增, 故x(1,+).,A,题型三 函数的单调性与最值 【例3】已知函数 x1,+). (1)当a= 时,求f(x)的最小值; (2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立，试求实 数a的取值范围. 第(1)问可先证明函数f(x)在1,+) 上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第 (2)问可采用转化为求函数f(x)在1,+)上的最小 值大于0的问题来解决.,思维启迪,解 设1x10,2x1x22, f(x2)-f(x1)0,f(x1)0恒成立 x2+2x+a0恒成立.,设y=x2+2x+a,x1,+), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间1,+)上是 增函数. 当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a0时,函数f(x)0恒成立， 故a-3. 要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a0在1,+)上恒成立, 只要a-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1-3,所以只要a-3即可.,探究提高,知能迁移3 已知函数 (a0,x0), (1)求证:f(x)在(0,+)上是单调递增函数; (2)若f(x)在 上的值域是 求a的值. (1)证明 设x2x10,则x2-x10,x1x20, f(x2)f(x1), f(x)在(0,+)上是单调递增的.,题型四 函数单调性与不等式 【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b) =f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 问题(1)是抽象函数单调性的证明,所 以要用单调性的定义. 问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运 用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个 变量的函数值.,思维启迪,解 （1）设x1,x2R，且x10,f(x2-x1)1. 2分 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. 5分 f（x2）f(x1). 即f(x)是R上的增函数. 6分,（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， f（2）=3， 8分 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 10分 解得-1m ,故解集为 12分 f(x)在定义域上（或某一单调区间上） 具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函数是 增函数,则f(x1)f(x2) x1x2,函数不等式（或方程） 的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一 般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义 域内或给定的范围内进行.,探究提高,知能迁移4 已知定义在区间（0，+）上的函数f(x) 满足 =f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.,（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则 由于当x1时，f(x)9,x9或x9或x-9.,1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f(x) 在其区间上的单调性，其步骤是 （1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1x2； （2）作差f（x1）-f（x2），然后变形； （3）判定f（x1）-f（x2）的符号； （4）根据定义作出结论.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其 定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本 初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用 图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质. 3.复合函数的单调性 对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是 单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.,1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两 个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.两函数f(x)、g(x)在x(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)g(x), 等的 单调性与其正负有关，切不可盲目类比.,失误与防范,一、选择题 1.若函数y=ax与 在(0,+)上都是减函数， 则y=ax2+bx在（0，+）上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 y=ax与 在(0,+)上都是减函数, a0,b0，y=ax2+bx的对称轴方程 y=ax2+bx在（0，+）上为减函数.,B,定时检测,2.函数 （a0且a1）是R上 的减函数，则a的取值范围是 ( ) A.（0，1） B. C. D. 解析 据单调性定义，f（x）为减函数应满足：,B,3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( ) A.y=sin x B.y=-log2x C. D. 解析 y=sin x在 上是增函数， y=sin x在（0，1）上是增函数.,A,4.(2009天津理，8)已知函数 若f(2-a2)f(a)，则实数a 的取值范围是 （ ） A.（-,-1）(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析 由f(x)的图象 可知f(x)在(-,+)上是单调递增函数,由f(2-a2) f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1.,C,5.若函数f(x)=x3 (xR)，则函数y=f(-x)在其定义域 上是 ( ) A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 解析 f(x)=x3 (xR)，则函数y=f(-x)=-x3 (xR) 显然在其定义域内是单调递减的奇函数.,B,6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 ( ) A. B. C. D. 解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4 的减区间为 e1,函数f(x)的单调减区间为,D,二、填空题 7.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (xR)是偶函数，则 f(x)的单调减区间是_. 解析 f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）， (m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3， m=0.这时f(x)=-x2+3， 单调减区间为0，+).,0,+),8.若函数 在区间(m，2m+1)上是单调递 增函数，则m_. 解析 令f(x)0,得-1m,m-1. 综上，-1m0.,(-1,0,9.已知定义域为D 的函数f(x)，对任意xD,存在正 数K，都有|f(x)|K成立，则称函数f(x)是D上的 “有界函数”.已知下列函数:f(x)=2sin x; f(x)= f(x)=1-2x; 其中 是“有界函数”的是_.（写出所有满足要求 的函数的序号）,解析 中|f（x）|=|2sin x|2,中|f（x）|1; 当x=0时，f(x)=0，总之，|f(x)| f(x)1,|f（x）|+,故填. 答案 ,三、解答题 10.判断f(x)= 在(-,0)(0,+)上的单调性. 解 -1f(-1)=-1, f(x)在（-，0）（0，+）上不是增函数. f（x）在（-，0）(0,+)上不具有单调性.,11.已知 （1）若a=-2,试证f(x)在（-,-2）内单调递增； （2）若a0且f(x)在（1,+）内单调递减，求a的取 值范围. （1）证明 任设x10,x1-x20, f(x1)f(