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工程中的不确定性 统计与概率 02,上讲回顾:,数据表示方法 直方图和累积分布 均值和标准偏差 连续分布 正态分布及其应用,例-III （回顾）,例-III回顾,某公司入库 250个连杆, 抗张强度均值为45 ksi (kilopound square inch，千磅/平方英寸 )， 标准偏差为5 kpsi. 假设抗张强度服从正态分布 。 (a) 有多少连杆的抗张强度将低于 39.5 kpsi.,例-III回顾,由于 z0, 我们用公式： F(-1.10)=1-F(1.10)= 1-0.8643=0.1357, （查表）. 于是, 250*0.1357=34 34个连杆的抗张强度将低于 39.5 kpsi,先进行标准化变换:,例-III回顾,某公司入库 250个连杆, 抗张强度均值为45 ksi (kilopound square inch，千磅/平方英寸 )， 标准偏差为5 kpsi. 假设抗张强度服从正态分布 。 (b) 有多少连杆的抗张强度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之间？,例-III回顾,由表, F(2.9)=0.9981, 所以抗张强度 大于的概率为 1-0.9981=0.0019. 抗张强度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之间的概率为: 1-0.1357-0.0019=0.8624. 于是有 250*0.8624=216 个连杆的抗张强度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之间。,先进行标准化变换:,例-III回顾,课堂练习1 (3 分钟),课堂练习 1,500根钢棒的长度服从正态分布。其均值为11cm，标准偏差为1 cm。试估计长度大于13 cm的钢棒的数量.,课堂练习 1,F(z),1-F(z),z,500根钢棒的长度服从正态分布。其均值为11cm，标准偏差为1 cm。试估计长度大于13 cm的钢棒的数量.,F(2)=0.9772 于是, 500*(1-0.9772)=11根钢棒的长度大于13 cm,先进行标准化变换:,课堂练习 1,本讲内容: 复合统计 统计过程控制 概率 回归,复合统计：,假定有两组数据，我们要对两组数据进行复合统计。 例如，两个相互配合的零件的配合尺寸数据；或者承载零件的强度与加载零件的加载力之间的关系。 如果零件的尺寸、强度或应力有变化, 则原本能够配合的两个零件可能配合不上，承载零件可能失效断裂等。,记Xi (i=1,2,3,N) 为分布1的数据； 记Yi（i=1,2,3,N）为分布2的数据； 令变量Z表示变量X和变量Y的复合， 且有：Zi=XiYi (i=1,2,3,N) 均值的计算如下:,复合统计：,从均值的定义可以看出，均值可以进行加减运算,方差为：,0,对于独立或无关联变量,复合统计：,从方差的定义可以看出，不管均值是加还是减，方差必须要相加,0,0,0,对于连续分布，均值也能相加减：,方差必须相加：,标准偏差为：,或,复合统计：,例-IV,例-IV,从一批轴零件中抽样1000根，发现直径的均值为29.50 mm，标准偏差为0.40 mm。该轴的配合零件轴套的内径均值为 30.50 mm，标准偏差为 0.50 mm。 如果随机挑选一根轴和一根轴套，它们间隙小于零配合的概率是多大？ 假设尺寸都是正态分布的。,例-IV,间隙的均值为：30.5-29.5=1.0mm. 间隙的方差为： 0.42+0.52=0.41, 于是间隙的标准偏差为： 0.64. 需要计算间隙小于零的概率，作以下变换：,查表，有： F(-1.562)= 1-F(1.562)= 1-0.9404= 0.0596 于是,间隙小于零配合的概率为5.96%。,例-IV,课堂 练习 (3 分钟),课堂练习 2,杆直径的均值为Dr =3.99 cm，标准偏差为0.01 cm。该杆将要与一套子配合，该套子的孔径的均值为Ds=4.00 cm，标准偏差为0.05 cm。如果随机挑选一根杆和一个套子，它们间隙小于零配合的概率是多大？假设直径服从正态分布。,需要计算间隙 0的概率，先进行如下变换：,查表, F(0.1961)=0.5793 F(-0.1961)=1-0.5793=0.4207 即，间隙小于零配合的概率为：42.07%,间隙均值,标准偏差,课堂练习 2,统计过程控制,统计过程控制,统计过程控制的概念,在生产过程中，产品的加工尺寸的波动是不可避免的。它是由人、机器、材料、方法和环境等基本因素的波动影响所致。 波动分为两种：正常波动和异常波动。正常波动是偶然性原因（不可避免因素）造成的。它对产品质量影响较小，在技术上难以消除，在经济上也不值得消除。异常波动是由系统原因（异常因素）造成的。它对产品质量影响很大，但能够采取措施避免和消除。 过程控制的目的就是消除、避免异常波动，使过程处于正常波动状态。,统计过程控制非常适合于重复性生产过程 它能够帮助我们对过程作出可靠地评估； 确定过程的统计控制界限，判断过程是否失控； 为过程提供一个早期警报系统，及时控制过程情况，防止废品发生； 减少对常规检测的依赖性，定时的观察以及系统的测量方法替代了大量的检测和验证工作。,实施统计过程控制一般分为两大步骤： 首先是利用统计过程控制工具进行分析 第二步是用控制图对过程进行监控,并不需要检测每一个数据，而只要监测一个小样本数据的统计特性。 通过对若干个样本平均值的比较，就可以判断过程是否经历系统性的变化。 检测标准偏差，可以估计产品的相关性能是否改变。,统计过程控制,通常以图表形式对检测结果进行显示和分析 控制图的基本布局,统计过程控制,图中的均值由以往测量数据进行估计得到 控制极限到均值的距离为标准偏差的三倍 这意味着一个数据落在控制极限外面的概率为0.003。这是一个非常小的概率。,图示的控制图中，测量值离均值线越来越远，说明整个过程缺少控制。,图示的控制图中，测量值呈现周期性变化，体现出了操作者或者环境因素的影响。,概率,概率,概率基础及其工程应用,当我们已经建立好某个加工过程或系统的统计属性，如高度分布、人体重量分布、加工表面的表面粗糙度分布等，我们就可以运用这些分布规律来进行预测。 如：不适合飞机座椅的乘客比例，机加工零件中尺寸不符合要求的零件比例等。,当单个事件发生的概率确定后，就可以计算多重事件发生的概率。 为了计算多重事件发生的概率，需要了解这些事件是否是互斥事件或独立事件。,互斥事件,一个事件发生，另外一个就不会发生，则称这两个事件为互斥事件。 例如，投掷硬币时出现正面与出现反面这两个事件即为互斥事件。,独立事件,一个事件是否发生，与另外一个事件的发生与否没有关系，则称这两个事件为独立事件。 例如，投掷两次硬币时，第一个硬币出现正面与第二个硬币出现正面是完全独立的，因此这两个事件为独立事件。,符号: P(E1): 事件 E1发生的概率 P(E2): 事件 E2发生的概率 P(E1+E2):事件 E1或E2发生的概率 P(E1 E2): 事件 E1和E2都发生的概率,概率,特别情形: P(E1+E2)=P(E1)+P(E2) 互斥事件 P(E1 E2)=P(E1)*P(E2) 独立事件,一般情况下: P(E1+E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1 E2),互斥事件: 一个事件发生，另外一个就不会发生. 独立事件: 一个事件是否发生，与另外一个事件 的发生与否没有关系。,概率,(1-P(E1)* (1-P(E2) =,T 事件发生 F 事件不发生,事件 E1和E2都发生,P(E1)*P(E2),事件 E1和E2都不发生,1- P(E1)- P(E2)+ P(E1)*P(E2),概率,事件E1或事件E2发生,E1 E2 F F T F F T T T,T 事件发生 F 事件不发生,1-both fail =,1-(1-P(E1)*(1-P(E2) =,P(E1)+P(E2)-P(E1)*P(E2),概率,例-V,例-V,将两个可靠性为0.9的零件串行连接，则当两个零件都正常运行时，系统正常运行。,系统能够运行的概率为： P(E1 E2)=0.9*0.9=0.81,例-V,例-VI,例-VI,若两个零件并行连接，系统能够运行的概率是多大？ （并行连接时，两个零件都失效了，系统才失效。）,系统能够运行的概率为: P(E1+E2)=1-both fail=1-(1-0.9)*(1-0.9)=0.99,例-VI,例-VII,例-VII,现有一种非常廉价但不太可靠的产品，其可靠度为0.3。现欲将这种产品并行连接，问：需要多少个零件并行连接才能使系统达到0.99的可靠度？,例-VII,P(works)=1-P(all fail)=1-(1-0.3)n= 1-0.7n=0.99 于是: 1-0.99=0.7n ln(1-0.99)=ln(0.7n)=n ln(0.7) n=ln(1-0.99)/ln (0.7)=12.9 需要 13个产品并行连接。,0.3,0.3,0.3,课堂 练习 (3 分钟),课堂练习 3,计算如下系统的工作可靠性?,两个并行零件构成的小系统的可靠性为： 1-both fail=1-(1-0.8)*(1-0.9)=0.98,0.98,整个系统的可靠性为： 0.98*0.95=0.931,每个零件的可靠性如图上所示,课堂练习 3,根据测量出的散乱数据，确定变量间的相互关系。 回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。,回归,通常对于两个变量x和y，我们会获得一些数据。 2. 为了直观地了解变量间的关系，可将这些数据绘制在 x-y 平面上（散点图） 3 为了更加精确的了解变量间的关系，我们采用回归方法，即用一条直线或曲线来最佳地拟合这些数据点，也就是给出变量之间关系的数学表达式。,x,回归,一元线性回归,回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析； 按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析； 在回归分析中，只包括一个