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,$3-9曲率,2,一、弧微分(differential of arc),规定：,$3-9曲率,3,单调增函数,如图，,弧微分公式,夹逼,$3-9曲率,4,二、曲率(curvature)及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),$3-9曲率,5,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,$3-9曲率,6,2、曲率的计算公式,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,(R为园的半径）,$3-9曲率,7,代入公式,得,$3-9曲率,8,例1(212),解,显然,$3-9曲率,9,例2(补充）,$3-9曲率,10,$3-9曲率,11,证,如图,在缓冲段上,实际要求,$3-9曲率,12,$3-9曲率,13,三、曲率圆与曲率半径,定义,(curvature circle and radius of curvature),$3-9曲率,14,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,$3-9曲率,15,例3,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,$3-9曲率,16,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,$3-9曲率,17,四、小结 Brief summary,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,$3-9曲率,18,思考题 Consideration,椭圆 上哪些点处曲率最大？,$3-9曲率,19,思考题解答 Solution to consideration,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,$3-9曲率,20,练 习 题 Exercises
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