2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题精选教案理.doc

第16讲导数与函数的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题2会利用导数解决某些简单的实际问题.2017全国卷，21 2017全国卷，212017四川卷，21考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大.分值：1214分1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究4导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x)a”()2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(C)A13万件B411万件C9万件D7万件解析yx281，令y0得x9或x9(舍去)，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(A)Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上是减函数F(x)在a，b上的最大值为F(a)f(a)g(a)4若f(x)，0ab0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0；x(1,3)时，f(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以在f(x)的三个单调区间(1,1)，(1,3)，(3，)上，直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)bf(1)因此，b的取值范围为(32ln 221,16ln 29)三利用导数证明不等式利用导数证明不等式的解题策略(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，那么F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数F(x)f(x)g(x)的零点，这往往就是解决问题的一个突破口【例3】 已知函数f(x).(1)设g(x)ln x，求证：g(x)f(x)在1，)上恒成立；(2)若0a.证明 (1)由题意知，要证ln x在1，)上恒成立，即证明(x21)ln x2x2，x2ln xln x2x20在1，)上恒成立设h(x)x2ln xln x2x2，则h(x)2xln xx2，由x1，得2xln x0，x22(当且仅当x1时等号成立)，即h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增，h(x)h(1)0，所以g(x)f(x)在1，)上恒成立(2)因为0a1，则(1)知ln ，整理得，所以当0a.四利用导数研究恒成立(或存在性)问题利用导数研究不等式恒成立问题的方法(1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使ag(x)恒成立，只需ag(x)max，要使ag(x)恒成立，只需ag(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)0即可求出a的取值范围(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式【例4】 已知函数f(x)x22x，g(x)xex.(1)求f(x)g(x)的极值；(2)当x(2,0)时，f(x)1ag(x)恒成立，求实数a的取值范围解析(1)令h(x)f(x)g(x)x22xxex，则h(x)(x1)(2ex)，令h(x)0，解得x1或xln 2.当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表.x(，1)1(1，ln 2)ln 2(ln 2，)h(x)00h(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减h(x)的极小值为h(1)1，h(x)的极大值为h(ln 2)ln22，即f(x)g(x)的极小值为1，极大值为ln22.(2)由题意知，当x(2,0)时，x22x1axex恒成立，即a恒成立令t(x)，则t(x)，当x(2，1)时，t(x)0，t(x)单调递增；当x(1,0)时，t(x)0，t(x)单调递减；当x(2,0)时，t(x)maxt(1)0.a0.故a的取值范围是0，)【例5】 已知函数f(x)ax2bln x在点(1，f(1)处的切线方程为y3x1(1)若f(x)在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，求实数k的取值范围；(2)若对任意x(0，)，均存在t1,3，使得t3t2ctln 2f(x)，试求实数c的取值范围解析(1)f(x)2ax，由得f(x)2x2ln x，f(x)4x，令f(x)0，得x，所以解得1k.故实数k的取值范围是.(2)设g(t)t3t2ctln 2，根据题意可知g(t)minf(x)min.由(1)知f(x)minfln 2，g(t)t2(c1)tc(t1)(tc)，当c1时，g(t)0，g(t)在1,3上单调递增，g(t)ming(1)ln 2，满足g(t)minf(x)min.当1c3时，g(t)在1，c上单调递减，在c,3上单调递增，g(t)ming(c)c3c2ln 2.由c3c2ln 2ln 2得c33c220，(c1)(c22c2)0，此时1c0；当x 时g(x)0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解析(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如下表x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.4(2018安徽安庆模拟)已知f(x)xln x，证明：当x1时，2xef(x)证明 令g(x)f(x)2xe，则g(x)f(x)2ln x1令g(x)0，得xe.当x(1，e)时，g(x)0，g(x)在(1，e)内单调递减，在(e，)内单调递增g(x)极小值g(e)f(e)2ee0.又g(1)f(1)2ee20，g(x)在1，)内的最小值为0，g(x)g(x)min0，f(x)2xe0，即2xef(x)易错点忽视定义域出错、求导出错，非等价转化出错错因分析：对一些函数的定义域没有认清，不能对要证明的目标进行合理转化，也不能按得分点规范化书写而失分【例1】 设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)(exex)(aln x)2e2x(x0)，当a0时，f(x)0，f(x)没有零点当a0时，设u(x)2e2x，v(x)，因为u(x)2e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递减，在同一坐标系中作出u(x)，v(x)的简图如下可知u(x)与v(x)的图象在(0，)上仅有一个交点故当a0时，f(x)存在唯一零点综合得f(x)的零点的个数为1(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以e2x0，aln x02ax0aln ，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.【跟踪训练1】 已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是！#.解析f(x)exxexex(1x)，当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增，f(x)minf(1).g(x)maxa，由题意，得a.课时达标第16讲解密考纲本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大1已知函数f(x)x2axaln x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)4x.解析(1)f(x)2xa，由题意可得f(1)0，解得a1经检验，a1时f(x)在x1处取得极小值，所以a1(2)由(1)知，f(x)x2xln x，令g(x)f(x)3xln x，由g(x)x23x33(x1)(x0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，g(x)ming(1)30，当x0时，g(x)g(1)0，于是f(x)4x.2若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解析(1)f(x)3ax2b，由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示因为f(x)k有3个不同的根，所以直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.3(2018河南新乡调研)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，则f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数，则f(x)minf(a)a(a1)ln a1当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数，则f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知，f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1)，g(x)(1ex)x.x2,0时，g(x)0，则g(x)为减函数所以g(x)ming(0)1所以e(a1).所以a的取值范围为.4某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由解析(1)设日销售量为件，则10，k10e40.则日销售量为件，每件利润为(x30a)元，则日利润L(x)10e40(35x41)(2)L(x)10e40(35x41)当2a4时，3331a35，L(x)0，L(x)在35,41上是减函数当x35时，L(x)的最大值为10(5a)e5.当4a5时，3531a36，由L(x)0得xa31，当x(35，a31)时，L(x)0，L(x)在(35，a31)上是增函数当x(a31,41时，L(x)0，L(x)在(a31,41上是减函数当xa31时，L(x)的最大值为10e9a.综上可知，当2a4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，当4a5时，日售价为a31元可使日利润L(x)最大5(2018辽宁五校联考)已知函数f(x)(ax1)ln x.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线l的方程；(2)设函数g(x)f(x)有两个极值点，x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值解析(1)当a2时，f(x)2ln xx2，f(1)2，f(1)，切线l的方程为y2(x1)，即4x2y3