经济数学复习第一章函数极限连续.ppt

,ESC,第一章 函数 极限 连续,第一章 函数 极限 连续,函数的定义域,函数的极限,极限的性质与四则运算法则,函数的连续性,洛必达法则,无穷小的等价代换,两个重要极限,ESC,一、函数的定义域,例1 求下列函数的定义域,(2) ；,(3) ；,(4) ；,ESC,解 (1)在分式 中，分母不能为零，所以 ，解得 ，且 ，即定义域为,(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有 ，解得 ，即 定义域为 ,一、函数的定义域,【,ESC,(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有 ，解得 ，即定义域为 ,(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有 ,解得 ， 即定义域为 ,即定义域为,一、函数的定义域,ESC,极限存在的充分必要条件：,和 是否存在,设函数 , 试讨论极限 ,例2,二、函数的极限,ESC,解 由图可看出,在 处, 函数 的左、右极限都存在, 但不相等,故 不存在,二、函数的极限,ESC,三、极限的性质与四则运算法则,设 , , 则,(1)代数和的极限 存在, 且,.,(2)乘积的极限 存在, 且,.,特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即,.,(ii) 若 是正整数, 有,.,ESC,设 , , 则,(3) 若 ,商的极限 存在, 且,.,三、极限的性质与四则运算法则,ESC,三、极限的性质与四则运算法则,例3 求下列极限,ESC,四、无穷小的性质,性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量,性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量,ESC,四、无穷小的性质,例4 求 ,解 因为 ，所以 是有界变量；,根据性质1.2，乘积 是无穷小量即,练习 求 ,ESC,五、无穷小的等价代换,定义1.7 设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量，,(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量也称 是比 低阶的无穷小量,(2)若 ( 是不等于零的常数)，则称 与 是同阶无穷小量若 ，则称 与 是等价无穷小量记为 。,ESC,2.等价无穷小的传递和代换的性质,设在同一变化过程中,（1）若 则 。,（2）若 且 存在 ， 则,五、无穷小的等价代换,ESC,3. 常用的等价无穷小,当 时，有：,五、无穷小的等价代换,ESC,例4 求下列极限,五、无穷小的等价代换,练习已知：,ESC,六、两个重要极限,一、第一个重要极限,推广公式,该极限的特征是（1） 型未定式（2）无穷小的 正弦与自身的比。,二、第二个重要极限,推广形式,ESC,第二个重要极限的特征,（1） 型未定式。（2）,例5 求 ,解：,六、两个重要极限,ESC,练习 求下列极限,六、两个重要极限,ESC,七、函数的连续性,定义1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋于零时，相应函数的改变量 也趋于零，即,，,ESC,定义2 设函数 在点 的某个邻域内有定义,如果当 时,函数 的极限存在，且等于 在点 处的函数值 ，即,，,七、函数的连续性,ESC,七、函数的连续性,定义3 如果函数 在点 不连续，则称为 为 的一个间断点,由函数在某点连续的定义可知，如果 在点 处有下列三种情况之一，则点 是 的一个间断点,ESC,七、函数的连续性,(1)在点 处， 没有定义；,(2) 不存在；,ESC,七、函数的连续性,例6求函数 的连续区间和间断点.,解：函数的连续区间为,函数的间断点为,练习 函数 在 处连续，且,求 。,ESC,八、洛必达法则,洛必达法则（一）,若函数 与 满足条件：,(1) ， ；,(2) 与 在点 的某个邻域内(点 可除外)可导，且 ；,(3) （或 ）,则 （或 ）,ESC,洛必达法则（二）,若函数 与 满足条件：,八、洛必达法则,ESC,则 或 ,对于法则(一)和法则(二)，把 改为 ，仍然成立.,八、洛必达法则,ESC,八、洛必达法则,例7 求 .,解 当 时，有 和 ，这是 型未定式由洛必达法则,ESC,八、洛必达法则,例8 求 ,解 当 时，有 和