模型选择和模型评估.ppt

MLE,3-1,上节课内容总结,贝叶斯的概率观点 概率描述的是主观信念的程度 可以对参数进行概率描述，为参数生成一个概率分布 贝叶斯推理的基本步骤 先验分布 似然模型 计算后验分布 从后验分布中得到点估计和区间估计 点估计：后验均值、后验众数（MAP） 后验区间,MLE,3-2,上节课内容总结,后验的仿真模拟 贝叶斯推理与MLE 例 令 为 的极大似然估计，在合适的正则条件下，后验均值为 贝叶斯推理的优点 可以方便的结合先验信息 数据和先验同等对待 由后验可以同时推出点估计和区间估计,MLE,3-3,第七章：模型选择和模型评估,内容： 估计选择 （Ch13） 模型选择 （Ch14，Ch9，统计学习基础第7章）,MLE,3-4,估计选择,有几个不同的估计，哪个估计更好一些？ 统计决策理论,MLE,3-5,损失函数,损失函数：度量真值 与估计 之间的差异 损失函数举例,平方误差损失,绝对误差损失,损失,0-1损失,Kullback Leibler损失,MLE,3-6,风险函数,风险函数：损失的均值 一个估计 的风险是 对平方误差损失，风险为MSE 风险是 的函数 比较不同的估计，转化为比较不同估计的风险 但并不能清楚地回答哪个估计更好,MLE,3-7,风险比较,没有一个估计的风险在所有的值都超过另外一个,MLE,3-8,风险比较,风险函数的两个单值概述 最大风险 贝叶斯风险 其中 为的先验。,MLE,3-9,决策规则 (Decision Rules),决策规则是估计的别名 最小化贝叶斯风险的决策规则成为贝叶斯规则或贝叶斯估计，即 为对应先验 f 的贝叶斯估计 其中下界是对所有的估计 计算 最小化最大风险的估计称为最小最大规则 其中下界是对所有的估计 计算,MLE,3-10,贝叶斯估计,给定一个模型（先验和后验）和损失函数，就可以找到贝叶斯规则 若 ，则贝叶斯规则为后验均值 若 ，则贝叶斯规则为后验中值 若 为0-1损失，则贝叶斯规则为后验众数,MLE,3-11,最小最大规则,找最小最大规则，或者证明一个估计是最小最大估计是一件很困难的事情。但还是有一个简单的方法：有些贝叶斯估计（如风险为常数）是最小最大估计 令 对应先验 f 的贝叶斯估计： 假设 则 为最小最大估计，且f 称为最小受欢迎先验( least favorable prior)。 上述结论一个简单的结果有：如果一个贝叶斯规则的风险为常数 ，则它是最小最大估计。,MLE,3-12,MLE为近似最小最大估计,对满足弱正则条件的参数模型，极大似然估计近似为最小最大估计。对均方误差损失，通常 根据Cramer-Rao 不等式，这是所有无偏估计的方差的下界。,MLE,3-13,MLE为近似最小最大估计,因此对所有估计 ，有 对大数N， MLE为近似最小最大估计。 因此，对大多数参数模型，当有大量样本时，MLE近似为最小最大估计和贝叶斯估计。 Many Normal Means 情况不成立（不是大样本）,MLE,3-14,可接受性 (Admissibility),一个估计如果在所有值上都比其它估计的风险大，则该估计不是我们所希望的。如果存在一个其它的规则 ，使得 则该估计 是不可接受的。 否则， 是可接受的。,至少存在一个,MLE,3-15,可接受性,可接受性是与其他表示估计好坏的方法有何关系？ 在一些正则条件下，如果 为贝叶斯规则且有有限风险，则它是可接受的。 如果 的风险为常数且是可接受的，则它是最小最大估计。,MLE,3-16,许多正态均值 (Many Normal Means),Many Normal Means是一个原型问题，与一般的非参数回归或密度估计等价。对这个问题，以前许多关于极大似然估计的正面的结论都不再满足。 令 ， 表示数据， 表示未知参数， c0，这里参数的数目与观测数据一样多,MLE,3-17,Many Normal Means,MLE为 ，损失函数为 MLE的风险为 最小最大估计的风险近似为 ，且存在这样一个估计 能达到该风险。也就是说，存在风险比MLE更小的估计，因此MLE是不可接受的。在实际应用中，风险的差值可能很重要。 因此对高维问题或非参数问题，MLE并不是最优估计。另外在非参数场合，MLE的鲁棒性也不是很好。,MLE,3-18,底线,根据这些工具，怎样选择估计呢？ 如果一个估计是不可接受的，则该估计一定是不好的。 如果你信仰贝叶斯观点，则你可以用贝叶斯规则 如果最小最大性满足应用要求，可以使用最小最大估计。,MLE,3-19,模型选择,给定一个估计和风险函数，应该选择哪个模型/参数？,MLE,3-20,“模型”,我们说的“模型”有时指的是模型类别 ，例如所有2个高斯的混合模型和所有3个高斯的混合模型。 有时也指在一个类别的模型中的一员，如参数的值为特定值。也就是说，模型的类别是固定的，而考虑的是不同的参数值。 在实际应用中，我们通常同时考虑上述两种情况，也就是说：,MLE,3-21,训练与测试,训练 数据,目标/类别,学习,模型,测试 数据,应用 模型,MLE,3-22,训练误差与测试误差,测试误差，亦称泛化误差(generalization error )，是在与训练数据同分布的独立的测试样本上的期望预测误差： 训练误差是在训练样本上的平均损失：,MLE,3-23,训练误差与测试误差,我们的目标：选择使测试误差最小 的模型M， 称为模型选择。,MLE,3-24,训练误差与测试误差,选择次优模型：过拟合/欠拟合,MLE,3-25,训练误差与测试误差,训练误差为预测风险的过小估计：,MLE,3-26,模型选择和模型评估,为了进行模型选择，我们只需知道不同模型的测试误差的相对值。渐近近似有时对比较不同模型的测试误差很有用。 通常对误差的真值没有很好的估计。当样本有限时，渐近近似通常还不能得到足够好的估计。这种情况下我们可以采用重采样(resampling )方法 。 当然如过我们对测试误差有一种很好的方法来直接估计，我们可以用它来进行模型选择。,MLE,3-27,训练误差的乐观性,训练误差的乐观性定义为 也就是说， 欠估计R(M)的量取决于 yi 影响其预测的强度。我们越难拟合数据，乐观性越大。,MLE,3-28,训练误差的乐观性,通常我们有 因此，为了选择模型，我们可以 对 进行估计，或 以某种方式估计R(M),欠拟合程度 + 复杂性惩罚,MLE,3-29,估计乐观性,通过各种技巧（通常是渐近性）估计乐观性,MLE,3-30,Mallows Cp统计量,当取平方误差损失，误差模型为 ，其中误差 的均值为0，方差为 其中 为模型中参数的数目。,MLE,3-31,Mallows Cp统计量,这样，可以用Mallows Cp统计来估计R(M) 其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的MSE获得。,MLE,3-32,AIC（Akaike Information Criterion）,假设采用log似然作为损失函数 实际上我们采用的是2l(M) 如果模型为 ，则当 时， 其中 为 的MLE， 为训练数据上的似然值,MLE,3-33,AIC（Akaike Information Criterion）,这导出R(M)的一个估计： AIC（Akaike Information Criterion） 其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的MSE获得。 这同Mallows Cp统计量相同，只是适用假设范围更宽（推广） 但是注意：这并不是普遍满足，如0-1损失。,MLE,3-34,贝叶斯模型选择,假设我们有一个候选模型M，其参数空间为 ，后验为 为了比较两个模型M1和M2，可以计算两个模型的相对后验概率，称为后验几率（posterior odds）： 称为贝叶斯因子 (Bayes factor)，是数据对后验的贡献,MLE,3-35,BIC (Bayesian Information Criterion),假设模型的先验是常量且参数的先验平滑，我们用Laplace近似来近似计算 的积分，再加上某些简化，得到 其中 ， 为 的MLE。 这导出了另外一个模型选择计分的准则：贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion，BIC),MLE,3-36,BIC (Bayesian Information Criterion),当取平方误差损失，误差模型为 ，其中误差 的均值为0，方差为 ，有 得到 BIC(M) ，其中因子2被logN代替 AIC倾向于过拟合，而BIC倾向于欠拟合,MLE,3-37,BIC,AIC不是一致的，而BIC是一致的，也就是说，选择最小BIC的模型等价于选择最大后验概率的模型（在渐近意义下）。事实上模型的后验概率为 不仅可以估计最好的模型，而且可以评估所考虑模型的相