扭转轴的强度设计与刚度设计.ppt

1,5.2 圆轴的扭转切应力,5.1 切应力与切应变,5.3 圆轴的扭转变形,5.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件,5.5 静不定问题,第五章 扭转轴的强度设计与刚度设计,2,将任一截面上点C处的应力p分解成垂直于截面的分量 和切于截面的分量 。,5.1切应力与切应变,切应力 ：切向分量称切应力。,3,研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。,A,A的平衡？,SMC(F)=tdxdy-tdydx=0 t=t ,切应力互等定理：,物体内任一点处二相互垂直的截面上，切应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。,4,纯剪应力状态: 微元各面只有切应力作用。,5,变形体静力学的基本研究思路：,(1) 变形几何条件,刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。,1 圆轴扭转的应力公式,5.2 圆轴的扭转切应力,6,取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。,(1) 变形几何条件,g是微元的直角改变量，即半径r各处的切应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：,df /dx ,称为单位扭转角。,对半径为r的其它各处，可作类似的分析。,7,(1)变形几何条件,对半径为r的其它各处，作类似的分析。,同样有： CC= gdx=rdf,8,(2) 物理关系 材料的应力-应变关系,材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。,9,讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布,圆轴截面给定，df/dx为常数；G是材料常数。,-(3),最大切应力在圆轴表面处。,截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比；,切应变在ABCD面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。,10,(3) 力的平衡关系,应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。,取微面积如图，有：,-(3),利用(3)式，得到：,11,(3) 力的平衡关系,令：,Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。,tmax在圆轴表面处，且,求Ir，Wp ?,12,2 圆截面的极惯性矩和扭转截面系数,讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有：,a=d/D,13,圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量,空心圆轴,14,功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到： 1kW=1000Nm/s, 1马力=736Nm/s, 则功率、转速与传递的扭矩之关系为： M (kN.m)=9.55Np (千瓦)/n (转/分) M (kN.m)=7.02Np (马力)/n (转/分),设轴的转速为每分钟n转，则每秒转过的角度为 2n/60, 即有： NP= M/t=M2n/60 或 M=60NP/2n,力矩的功A可表示为力矩M与其转过的角度之积，功率NP是单位时间所做的功，故有： NP=A/t=M/t /t是每秒转过的角度（弧度）。,功率、转速与传递的扭矩之关系：,15,单位扭转角为：,若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。,5.3 圆轴的扭转变形,16,17,研究思路：,18,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。,2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tr=Tr/Ir tmax=T/WT,19,讨论：,2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？,相同,相同,不同,20,例:圆轴的直径d=100mm,长度为2l,l=500mm.B.C 两处承受外力偶分别 为Me1=7000Nm,Me2=5000Nm.若材料的剪切弹性模量G=82GPa。 求（1）试做轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力，并指出所在位置； （3）求C截面对A截面的相对扭转角。,解: (1)画扭矩图,（2）确定最大切应力 BC段各截面的边缘上,（3）计算相对扭转角,21,例:空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m ， MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。,解: 1) 画扭矩图。,2) 计算各段应力:,AB段：,N-mm-Mpa单位制,22,2) 计算各段应力:,BC段：,故 tmax=86.7Mpa,N-mm-Mpa单位制,23,例：钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭矩的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N.m,材料的切变模量G=80GPa,试求钻杆两端的相对扭转角。,解:1) 地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布，列平衡方程，求me,24,2)求相对扭转角 AB段任一截面上的扭矩 T=-Me BC段任一截面的扭矩 则 得,25,拉压,ss/n (塑) = sb/n (脆),max,1.强度条件,5.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件,返回主目录,26,轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr,扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏； 另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。,单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIr,扭转刚度条件则为： qmaxq -许用扭转角,机械设计手册建议：q =0.250.5/m; 精度高的轴； q =0.51.0/m; 一般传动轴。,2.刚度条件,27,扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核； 确定许用载荷（扭矩）； 设计轴的几何尺寸。,28,例：卡车的传动轴AB由无缝钢管制成，如图。钢管外径D,壁厚，材料为45钢，许用切应力=60MPa。若传动轴最大的工作扭矩T=1.8KN.m,试校核轴AB的扭转强度。,解：1）计算截面几何量。 传动轴内外径之比为 扭转截面系数为,2）校核强度。 转动轴最大切应力为 满足强度条件。,29,例：将上例中传动轴设计成实心轴，其强度与空心轴相同，试计算实轴直径，并比较空心轴与实心轴的重量。,解：若两轴强度相同，则T1=T2 1）求许可扭矩,30,2）计算实轴直径,在载荷相同的情况下，空心轴的重量只有实心轴的三分之一，可以大大节约材料，减轻重量。,3）求重量之比 重量之比=横截面面积之比,31,解: 1) 画扭矩图。,例:实心圆轴如图，已知MB=MC =1.64kN.m，MD=2.18kN.m 材料G=80GPa，t=40MPa ，q=1/m，试设计轴的直径。,最大扭矩在AC段，且,N-m-pa单位制,32,2) 按刚度设计，有：,同时满足强度与刚度要求，则应取取大者,33,讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。,重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。,34,功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到： 1kW=1000Nm/s, 1马力=736Nm/s, 则功率、转速与传递的扭矩之关系为： M (kN.m)=9.549Np (千瓦)/n (转/分) M (kN.m)=7.02Np (马力)/n (转/分),设轴的转速为每分钟n转，则每秒转过的角度为 2n/60, 即有： NP= M/t=M2n/60 或 M=60NP/2n,力矩的功A可表示为力矩M与其转过的角度之积，功率NP是单位时间所做的功，故有： NP=A/t=M/t /t是每秒转过的角度（弧度）。,功率、转速与传递的扭矩之关系：,35,例：传转轴的转速n=300r/min,已知主动轮A的输入功率为50kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为10kW 20kW 20kW。轴材料的=40MPa,=0.5(o)/m ,G=80GPa. 求（1）合理的布置各轮的位置； （2）设计轴的直径。,解:1)求外力偶矩,36,3)设计轴的直径 由强度条件 由刚度条件,同时满足强度和刚度的要求，应取D=61mm,2）布置各轮的位置并作扭矩图 若将主动轮放置于轴的左端（或右端），则最大扭矩 为1592N.m；若将主动轮放置于轮B和C之间，最大扭矩为1273N.m；而将主动轮放置于轮C和D之间，最大扭矩为955N.m。,37,例:传动机构中AB轴的转速n1=120r/min,从B轮上输入功率P=14kw.此功率的一半通过锥形齿轮传递给垂直轴C，另一半传给水平轴H。若锥形齿轮A 和D的齿数分别为36和12;各轴的直径分别为d1=70mm,d2=35mm,d3=50mm；轴的许用切应力=30MPa。试对各轴进行强度校核。,解:略 由各轴所传递的功率 , 各轴的转速 得到各轴承受的扭矩 ，从而校核各轴的强度,38,求解变形体静力学问题的基本方程: 力的平衡方程、材料的物理方程和变形几何方程。,5.5 静不定问题,39,例：两端固定的阶梯圆轴AB，在截面C处受外力偶矩Mc作用，已知d1,d2,l1 ,l2 。材料的切变模量G，许用切应力=，单位长度许用扭转角 , 试求圆轴两端的约束力偶矩，并进行强度和刚度校核。,解: 1）静力平衡方程 : MC=MA+MB -(1),3）物理方程(力变形关系) AC=MAl1 /GIr1; CB=MB l2 /GI