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23.3 向量数量积的坐标运算与度量公式,1向量数量积的坐标运算 已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab ，即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和 2两个向量垂直的条件 如果ab，则 ；反之，如果a1b1a2b20，则ab.,a1b1a2b2,a1b1a2b20,3向量的长度、距离和夹角公式 已知a(a1，a2)，则|a| ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 . 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式 已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则两个向量的夹角为cos .,重点：数量积的坐标运算和度量公式 难点：公式的灵活运用 1运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数 注意平行与垂直关系的联系与区别对于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，有 (1)abab0x1x2y1y20； (2)abab|a|b|x1y2x2y10. 2对一些几何问题(如垂直关系)可考虑建立坐标系，利用向量坐标法去解决,答案 A,已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)，求证ab与ab互相垂直 分析 只要证(ab)(ab)0即可,解析 解法一：由已知a(cos，sin)，b(cos，sin)，得ab(coscos，sinsin)， ab(coscos，sinsin) 又(ab)(ab) (coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin20， (ab)(ab) 解法二：a(cos，sin)，b(cos，sin)， (ab)(ab)a2b2|a|2|b|2 (cos2sin2)(cos2sin2)110， (ab)(ab),点评 处理有关垂直总是要注意利用abab0(a，b是非零向量)，或者利用aba1b1a2b20(a(a1，a2)，b(b1，b2),例2 设a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，求实数t的值 分析 利用公式ab|a|b|cos建立方程，解t的值,辨析 a与b的夹角是锐角， 则ab0，且剔除a与b同向,答案 D 解析 由ab211(2)0，ab.,2已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，且ab，则x等于 ( ) A3 B1 C1 D3 答案 B 解析 3x1(3)0，x1.,3已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，1)，则ABC的形状为( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D以上
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