《高阶偏导》PPT课件.ppt

,多元微积分,第七节 高阶偏导数,多元函数的高阶导数与一元函数的情形,在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数,仍是变量 x , y 的多元函数 , 如果偏,导数,仍可偏导, 则它们的偏导数就,是原来函数的二阶偏导数.,依此类推 , 可定义多元函数的更高阶的,导数.,类似, 一般说来,一般地, 若函数 f (X) 的 m1 阶偏导数仍可偏导, 则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.,二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.,高阶偏导数还可使用下列记号,二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项,共 23 = 8 项.,并发现求高阶导数与求导顺序有关.,解,先求一阶偏导数：,再求二阶偏导数：,解,二阶混合偏导数：,发现两个混合偏导数相等,一般性？,这里的两个混合偏导数均连续,设,求,解,需按定义求函数在点 (0, 0) 处的偏导数:,0,0,不相等,这说明只有在一定的条件下求函数,的高阶偏导数才与求导顺序无关.,想想应是什么条件？,定理,则必有,废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.,有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！,证,令,则,由二阶混合偏导数的连续性 , 可知函数,值定理得,即,关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理, 得,同理, 令,则,先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值,定理, 得,故,由二阶混合偏导数连续性, 取极限后, 即得定,理的结论.,该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.,现在问你, 证明定理时为什么会想到用,？,看 图,课后再想,引入记号：,在,内有直到 k 阶的连续偏导数,记为,时, 则在求 n 阶及 n 阶以下,的偏导数时, 可大大减少运算次数. 自变量,二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项, 当,的个数越多, 求导与求导顺序无关的作用越,明显.,解,求,解,解,偏微分方程,解,这是一维传热方程的基本解.,比较后, 得,解,这是求隐函数的高阶偏导数.,请自己计算,解,令,即,同理可得,将上述偏导数带入原方程, 得到,表示为极坐标形式.,解,我们选择一种复合方式进行运算, 另外的一种方式同学们课余可试一下.,极坐标系：,设,将二维拉普拉斯方程,表示为极坐标形式.,解,极坐标系：,分别对上式两边关于x 和 y 求导, 得到方程组,和,解方程组得,类似可求出,综上所述, 拉普拉斯方程的极坐标形式为,通常称,为二维拉普拉斯算子,为三维拉普拉斯算子.,利用算子可以方便地表示,高阶微分,泰勒公式,高 阶 微 分,存在, 且,高 阶 微 分,存在, 且,记为,u = f (x, y)的二阶全微分表达式,即,引进算符运算记号：,则,到 k 阶的微分:,解,而,故,此题也可先求du ,再由 d(du) 求 d2u. 课后不妨一试.,解,又,故,与求多元函数的偏导数的方法类似,我们想借助一元函数的泰勒公式来建立,多元函数的泰勒公式.,首先, 将一元函数的泰勒公式写成微分形式,( x 为自变量)：,运用点函数进行推广,定理,(多元函数的泰勒公式),内有,其中,称为拉格朗日余项.,该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式,由多元函数高阶微分式：,多元函数的泰勒公式可写成一般形式：,令,则,于是由一元函数的泰勒公式,再按多元函数的求导法则求出各阶导