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圆锥曲线问题总结答案一、 圆锥曲线的定义及应用 例：分析可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值. 解：设椭圆右焦点为,则,.又 (当、共线时等号成立).又,.故的最大值为,最小值为. 依题意有,解得.、在双曲线的左支上,.又,.,即. 小结：在本例的两个小题中,正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；由、三点共线求出的最值也是值得注意的问题.变式与引申答案1. C 提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少,.而点在抛物线外,的最小值为.2. 提示：由椭圆定义知,又，,.二、 圆锥曲线的标准方程例2 分析：问题：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,进而求出的离心率；问题：利用问题的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程. 解：抛物线经过椭圆的两个焦点,即,椭圆的离心率. 由可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程,得,解得或(舍去),即,的重心坐标为.重心在上,得.抛物线的方程为,椭圆的方程为.小结：忘记用第小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标. 变式与引申答案3. 解法一：当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,依题意有,解得.当焦点在轴上时,同理解得,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为.解法二：设所求椭圆方程为.依题意有,解得. 故所求椭圆的方程为.4. 解法一：设,代入椭圆方程得,相减得.,.由,得.,.又,.将代入,解得,.故椭圆方程为.解法二：由,得.设,则,.,. 设,则,代入,得,. 故椭圆方程为.三、 圆锥曲线的几何性质图 例 分析：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题获证；对于则运用平几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率的不等式,进而求出的取值范围. 解法：,即,又,故. 解法：依题意直线的分别为,点的坐标为,故. 解：,.将直线代入椭圆,整理得,.,解不等式,得,故椭圆的离心率的取值范围为. 小结：问题中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题中不适时联想平几性质，解题思路将受阻. 变式与引申5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于,两点. ()设线段的中点在直线上,求的值； ()设,求的取值范围.解：()过点斜率为的直线为,将代入方程，得. 设,则有,.线段的中点在直线上,即,得(此时式的判别式大于零).()由,得,即. 由,得.,由、得,易知,.,又,即,得,解得或,故的取值范围是.四、圆锥曲线专题一 以圆锥曲线为载体的探索性问题 例 分析：问题可先写出的方程,再利用点到的距离和椭圆的离心率求出、的值；问题是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的是否存在.但需考虑转动时斜率不存在情形. 解：设,当的斜率为时,其方程为,点到的距离为, .由,得,. 上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由知的方程为 .设,. 当不垂直轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是 的坐标为,且,即 .又、在上, 将代入 ,整理得, 于是 ,.代入解得, 此时,于是,即.因此,当时, 的方程为；当时,的方程为. 当垂直于轴时,由知,上不存在点,使成立. 综上,上存在点使成立,此时的方程为.6 解：由题意,直线的方程为.设点,由,得,则,.设点,则.由、三点共线得.由得点到轴距离与到直线：距离相等,即,.把,代入,得,即,解得.故存在常数,总有.跟踪习题答案 1、B. 提示：设椭圆的方程为,则,.由轴,得,即,解得,故椭圆的离心率.选B. 2. 提示：过点B向准线作垂线,垂足为M，可知，所以直线的斜率为. 解：设,则,化简得. 当直线与轴不垂直时,设的方程为,与双曲线联立消去得.由题意知且.设,则,.,的方程为,点的坐标为,同理得,故. 当直线与轴垂直时,其方程为,则,的方程为,点的坐标为,同理可得,因此.综上,即,故以线段为直径的圆经过点.解：由,得.设,则,.,解得,故直线的方程为,抛物线的方程.解法一：由,得,.设,为定值,当点到直线的距离最大时, 的面积最大.而,又,当时,.当点坐标为时,面积的最大值为. 解法二：设,依题意,抛物线在点处的切线与平行时,的面积最大.,.此时点到直线的距离. 由,得,故面积的最大值为.五、圆锥曲线的专题二最值和范围问题答案例1 解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为2例2解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，此时小结 1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。例3解(1)设、，则，由此及，得，即 （*）当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆（2）设直线的方程：，据题意有，即由得 因为直线与椭圆有公共点，所以 又把代入上式得 ：例4解：（1）设椭圆E的方程为( ab0 )，由e =a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量的比为2， 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,当且仅当SOAB取得最大值此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2将x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 例5解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 .yO.Mx.由 ， 解得 ，所以 ，综上 .例6解：（1）如图 ，于是，所求“果圆”方程为， （2）设，则， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或六、圆锥曲线专题三 轨迹问题 答案例1解: 设、，由点在线段上，且有可得，即，可得，点在抛物线，. ，整理得，点的轨迹方程为.小结：本题就是代入法，用代入法求轨迹时，须把求轨迹的动点坐标设为.例2 解：设、，则，得,为线段中点, 当时,又 化简得，当时，中点满足上述方程中点的轨迹方程为.小结：本题应用了“点差法” .在应用“点差法”过程中，考虑直线的斜率时一定要注意分和两种情况讨论，同时注意对结果进行检验，一般用“”来检验.例3 解：以所在直线为轴，中点为坐标原点，建立平面直角坐标系.设大圆的切线为，抛物线的焦点为，过、分别作的垂线，垂足分别为、，由抛物线的定义得，. ，而. 焦点的轨迹是以、为焦点，长轴长为10的椭圆，设其方程为，由于，得.得方程.又由于与不垂直，焦点的轨迹中必须除去两点，即.所求的轨迹方程为.小结：本题的方法是定义法.就注意圆锥曲线定义在轨迹方程中的应用，同时要注意除去不合条件的点.例4 解：设、，直线斜率必存在，设其方程为，焦点的坐标为，由可得，,由于直线交抛物线于不同两点， 或又，且、是平行四边形的对角线，线段、的中点相同 而 即有消去得， 又，点的轨迹方程为.小结：1）本题应用了参数法.要注意消去参数时，不能用直线的方程方程与消去参数（为什么？），如果这样消参数，得到的方程为，这是错误的.2）求轨迹方程的不同方法实际上是一般步骤：建系；设点；列式；代换；化简；证明基础上，根据不同的已知条件进行演变，目的都是为了建立动点坐标所适合的等式 跟踪练习答案1 23；4. 解：设、的坐标分别为、，于是， ，即有，消去，整理得，即为点G的轨迹方程5解：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又点在直线上， 边所在直线的方程为即（2）由解得点的坐标为，矩形两条对角线的交点为 为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支实半轴长，半焦距 虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为OFMEAB6解：设，直线ME的斜率为，则直线MF的斜率为， 直线ME 的方程为，由得解得, ， 同理可得 ， （定值）(2)当时，所以k=1,由（1）得，、，设重心G ，则有 消去参数得7解：解法（一）：（1）设由得： 直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是（2）由（1）得： 所以故存在=1使得解法（二）：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即 即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得： 故点P的轨迹方程是（2）由（1）得： 故存在=1使得.七、圆锥曲线专题四 直线与圆锥曲线的位置关系答案例1 解: 由a=3,b=1得，c=2，则左焦点F（，0）.于是AB的方程为与联立消去y得：.设A（、B（，则是上面方程的二实根，由韦达定理，|AB|=例2 解：(1)若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和.（2）把代入整理得： （1）当时，.由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点.若A、B在双曲线的同一支，须，所以或.故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上.小结：与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线.另一种是与双曲线相切的直线也有两条.例3 解：（1）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即， (2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（2）由（I）得当且仅当即时，等号成立AOB的面积存在最小值，且最小值等于1.例4 （1）证：椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（2）解：（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为习题跟踪答案1B 2D 3A4. 解：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得把直线方程代入椭圆方程整理得：设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得： ，又AB的中点横坐标为，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：5解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，则即注：也可以设出直线的方程，通过轴对称关系与判别式为正得出范围6解：（1）圆M：(x2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.|AM|=4|AM|， 圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为(ab0)，则a=4，c=2，b2=a2c2=12，所求动圆C的圆心的轨迹方程为. (2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m248=0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=.1=(8km)24(3+4k2) (4m248)0. 由消去y 化简整理得：(3k2)x22kmxm212=0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=. 2=(2km)2+4(34k2) (m2+12)0. ， (x4x2 )+ (x3x1) =0，即x1+x2= x3+x4，2km=0或，解得k=0或m=0， 当k=0时，由、得，mZ，m的值为3，2，1，0，1，2，3；当m=0时，由、得，kZ，k=1，0，1. 满足条件的直线共有9条7解： （1）设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程，得解得. 椭圆的方程 （2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为 设的内切圆的半径为，由椭圆的定义可知，的周长为定值6所以， 所以的最大值为所以内切圆圆心的坐标为 （3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由韦达定理，得直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：， 因此结论成立综上可知直线与直线的交点住直线上 法二：直线的方程为：直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得直线与直线的交点在直线上 八、圆锥曲线专题五 向量在解析几何中的应用例1 解: 点A(,0)，B(,0) .由+=l(+),依据向量加法的平行四边形法则,则有O、Q、P三点共线；设P(x1,y1)、Q（x2，y2）,则 - =1,则x12-a2 = y12； k1+k2 = + = = ；同理有k3+k4= ；由于 = 所求的定值为0.小结：本题中的向量条件:+=l(+)，通过向量加法的平行四边形法则,从而转化得出了O、Q、P三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论.例2 解: (1)由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长；又半焦距 c=2，故虚半轴长；所以 W 的方程为（）. （2）设 A，B 的坐标分别为, ；当 AB轴时,从而从而当AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故 .又因为,所以,从而综上,当AB轴时, 取得最小值2.小结：向量条件在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算规律的应用与转化.例3 解：（1）已知C为椭圆，其中， b=2，C的方程为 （2）由已知得=5，（3）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-3）=（s，t-3），故x=s，y=3+（t-3），M、N在动点P的轨迹上，故，消去s可得，解得又| t |2，2，解得故实数的取值范围是，5 例4 解法1（1）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，OPAB所以 即由所以曲线的方程是（2）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入因为又 所以记由函数的单调性及不等式知识可求得，当时，面积取到最小值，当时，面积取到最大值所以面积范围是解法二（1）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，由 所以曲线的方程是.（2）设直线AB的方程为 由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=以下同解答1习题跟踪答案1B 2C 3C4.证：由，互相垂直 化简得，此方程为点M的轨迹方程根据双曲线的定义，存在两个定点、，对满足条件任意的点M均有5解：设M（x，y），由得P（）、Q（）由0得： 点Q在x轴正半轴