氏数列与黄金比例的探讨.ppt

費氏數列與黃金比例的探討,作者:陳奕安,陳俊城 指導老師:傅淑婷老師,研究動機,段考前我們剛好學到黃金比例所以我們就想來研究，但因為有很多方面，所以不知道從哪一方面著手，看過書之後我們決定研究費氏數列與黃金比例的關係及費氏數性質。,費氏數列簡介,費氏數列，又譯為費波那契數列或斐波那契序列；中世紀的意大利數學家費波那契（Leonardo Fibonacci，西元1170-1250年）發現了這樣的一個數列：1、1、2、3、5、8、13、。 每一個數字必須是前兩個數字的和 (an = an-1 + an-2 )。,費氏數的性質-1,1.如果你把前五個費氏數加起來再加 1，結果會等於第七個費氏數；如果把前六個費氏數加起來，再加 1，就會得出第八個費氏數。那麼前 n 個費氏數加起來再加 1就會等於第n+2個費氏數。 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21,費氏數列的性質-2,2.如果我們分別對偶數項與奇數項做加法運算的話，情形如下 1 + 2 + 5 = 8 1 + 2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 13 1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 我們可以得到下列的結果： F1 + F3 + + F2n - 1 = F2n 1 + F2 + F4 + + F2n = F2n + 1,費氏數列的性質-3,3.如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項。 22 + 32 = 4 + 9 = 13 試試看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1都成立。 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233,費氏數列前後項的比值-黃金比例,把費氏數列中的每一項用前一項來除，我們得到一個新數列： 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6, 1.63, 1.615, 1.619, 1.618, . 計算過程如下：,費氏數列前後項的比值-黃金比例,下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為 的取值： 看起來好像會趨近某個定值，大約為1.618也就是黃金比例。,費氏數列幾項性質的證明-1,證明：F1 + F2 + + Fn + 1 = Fn + 2 n = 1 時， 左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2 右式 = F1+ 2 = F3 = 2 故等式成立 對任意自然數 n，假設 n = k 時等式成立，即 F1 + F2 + + Fk + 1 = Fk + 2 則 F1 + F2 + + Fk + Fk + 1 + 1 = ( F1 + F2 + + Fk + 1 ) + Fk + 1 = Fk + 2 + Fk+ 1 = Fk + 3 故 n = k + 1時等式成立 由 1. 2. 與數學歸納法原理得證： F1 + F2 + + Fn + 1 = Fn + 2,費氏數列幾項性質的證明-2,證明（A）：F1 + F3 + + F2n - 1 = F2n 證明（B）：1 + F2 + F4 + + F2n = F2n + 1,費氏數列幾項性質的證明-2,（A）利用數學歸納法： 當 n = 1 時， 左式 = F1 = 1 右式 = F2 = 1 故等式成立 對任意自然數 n，若n = k 時等式成立，即 F1 + F3 + + F2k - 1 = F 2k 當 n = k + 1 時， 左式 = F1 + F3 + + F2k - 1 + F2k + 1 = (F1 + F3 + + F2k - 1 ) + F2k + 1 = F 2k + F2k + 1 = F2k + 2 右式 = F2( k + 1) = F2k + 2 故等式成立,費氏數列幾項性質的證明-2,由 1. 2. 與數學歸納法原理得證： F1 + F3 + + F2n - 1 = F2n （B） 的證法與（A）相同。,費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,3.證明：把費氏數列中的每一項用前一項來除，我們得到一個新數列： 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6, 1.63, 1.615, 1.619, 1.618, . 看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61也就是黃金比例。,費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,讓我們用Gn 表示新數列的第 n 項 。因為 Fn = Fn - 1 + Fn 2 ，所以 Gn 的確會收斂到某一定值，我們稱之為 (讀作phi),費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,為何可以確定Gn會收斂到某一定值？因為： 令 , 是 Gn 的奇數項所組成的數 列：G1, G3, G5, En 是 Gn 的偶數項所組成的數列：G2, G4, G6, 我們將證明： On是遞增數列。 En是遞減數列。 對於所有的正整數 n，On En； 而且當 n 很大時，On 與 En 之間的距離會趨近於 0。 如下圖：,費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,於是，由實數的稠密性可知： On 與 En 一定會收斂到同一數 (暫且以 L 表示)。 換句話說，不論是 G2n-1 還是 G2n 都會收斂到 L。 因此，Gn 也會收斂到 L。 所以Gn 的確會收斂到某一定值,直觀上，當 n 很大時，不論是 Gn 或 Gn-1 與 之差都會很小，可以忽略不計。所 以由 這個式子我們可以推得 ，亦即 2 1 = 0，利用解二次方程式根的公式而算得,費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,中，a = 1, b = 1, c = 1， 但是我們所要的 為一比值，所以只能取正解。 因此， 。 也就是所謂的黃金比例,費氏數列幾項性質的證明-黃金比例,結論,我們證明了費氏數列的多項性質，這些性質若巧妙運用在生活中一定能帶來很多方便之處，例如我們證明了費氏數列前後項的比是黃金比例，這樣的特性就可以在一些生活中需要用到黃金比的地方卻又很難測出準確質時使用，像是8:5就是一個很好記的黃金比例近似質，13:8、21:13也都是費氏數列中的黃金比例近似質。另外的一些特性也都在數學、幾何、美學甚至到營