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文档简介

,第三节 向量的数量积和向量积,一、 两向量的数量积,二、 两向量的向量积,一、两向量的数量积,1 定义,两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，,称为向量a与b的数量积，,记作ab,即,数量积也称点积。,力学意义：,一物体在力F的作用下，,沿直线AB移动了S，,F与AB的夹角为,如右图，,则力对物体做的功为,S,2 性质：,（1） aa=|a|2,（2）,3 运算律,（1）交换律,（2）分配律,（3）结合律,其中为常数。,4 数量积的计算公式,设向量,则有,证明：,则有两非零向量a和b的夹角的余弦坐标表示为,此时，对于非零向量a，b，有,5 向量在轴上的投影,设A为空间一点，u轴已知，如图。,过点A作与轴垂直的平面，,平面与轴,的交点A称为A在轴上的投影。,A,对于已知向量 ，,u轴上的有向,线段 的模称为向量 在轴u,上的投影，,它是一个数量，记作,B,B,那么,为向量 与轴u的夹角。,用e表示u轴上的单位向量，,则ae为向量a在e方向,上的投影，那么有,例1 已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，,求：,（1）ab；,（2）a与b的夹角；,（3）a在b上的投影。,解：（1）,（2）,所以,（3）,因为,所以,例2,求证余弦定理,为边CA，CB的夹角。,证明：,如图所示的ABC，,令,可得,那么,所以,证毕,二、两向量的向量积,1 定义,设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：,（1）|c|=|a| |b| sin，,为向量a和b的夹角；,（2）,，且向量a，b ， c的方向满足右手定则，如图；,那么向量c称为向量a和b的向量积，,记作ab，即,C= ab,向量积又称为叉积。,向量积模的几何意义是：以,a，b为邻边的平行四边形的面积。,O为一根杠杆L的支点，,P,有一个力F作用于其上点P处，,F与 的夹角为，,由力学,规定，,力F对支点O的力矩是一个向量M，,Q,它的模,而M的方向垂直于 与F所决定的平面，,M的指向是,是按右手规则从 以不超过的角的转向F来确定，,因而实际上,力学意义：力矩，,如下图所示。,2 两向量积的性质,（1）aa=o；,（2）,（3）若ao，bo，a，b的夹角为，则,3 两向量的向量积的运算律,（1） ab=-ba；,（2）（a）b=a（b）=（ab,（为常数）,（3）（a+b）c=ac+bc,4 两向量的向量积的坐标表示,设向量,则有,此时，对于非零向量a，b，有,约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。,解：,例4 设向量,问ab与c是否平行？,解：,显然,故ab/c.,例5 问向量,是否共面？,解：,判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个,向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）,由于,所以，,=4-2-2=0,因而a，b，c共面。,例6 求以点A（1，2，3），B（3，4，5
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