概率统计简明教程(同济)Cha.ppt

Chapter 2 事件的概率,对于一般的随机事件,它在一次随机试验中可能发生,也可能不发生. 我们常常希望知道该事件在一次试验中发生的可能性大小,如 一批产品的次品率: 5%(P7)? 某射手的命中率等: 0.9? 它们就是该事件的概率.,第一节 概率的概念,概率的存在性? 共识: 尽管随机事件发生与否具有随机性, 但在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的,且可以度量.,概率的统计定义? 在一次随机试验中,随机事件A发生的可能性大小称为事件A的概率,记为P(A). 上述概率的直观定义源于随机事件频率的研究.,在n次试验中事件A发生的频率 fn(A) = A出现的次数/试验次数n. 随着试验次数的增加, 频率具有稳定性. 就抛一枚均匀的硬币来说, 随机事件A: “正面朝上”, A发生的频率在0.5附近波动,且越来越接近0.5, 这时P(A) = 0.5. 概率就是频率的稳定值, 它揭示的随机事件发生的统计规律性.,实际用处: 当试验次数较大时, 可用事件的频率作为概率的近似值. 思考 如何实现P(A)? 概率的统计定义并未给出任何计算概率的方法和规则. 概率的统计定义直观, 但在理论上是不严格的(参见本章第四节).,思考 频率具有哪些的性质? (1) (2) (3) (i j ),概率具有哪些的性质? (1) (2) (3) (i j ),第二节 古典概型(概率模型),古典概型: (1) (有限性)试验只有有限个可能结果; (2) (等可能性)每个试验结果出现的可能性相同.,由有限性, 可设试验共有n个可能结果. 由等可能性知, 每个试验结果出现的可能性为1/n. 若随机事件A包含k个试验结果,则A的概率为 n = ? k = ? 计数要用到加法原理和乘法原理.,例1(P8) Solution A = 两件都是次品 B = 第一件是次品, 第二件是正品. 放回抽取: 不放回抽取:,例2(P9) Solution A = 不重复的六位数 B = 末位数是8的六位数.,例3(女士品茶问题) Solution A = 10次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后顺序 小概率事件的“实际推断原理”:小概率事件在一次试验中不会发生.,例4(抽奖券问题) Solution A = 第k位顾客中奖 课堂: P15, 1, 2, 3.,补例1 掷两枚骰子, 求事件A为出现的点数之和为3的概率. S = 2, 3, , 12? S = (1,1), (1,2), ,(6,6)(OK!): |S| = 36； A = (1,2), (2,1).,补例2 对于一元二次方程x2+Bx+C = 0, 其中系数B和C取值是随机的, 分别取将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,求方程有不同实根的概率. Hint (1)|S| = 36; (2)B2/4C: |A| = 17.,第三节 几何概型,几何概型: (1) (无限性)试验结果无限; (2) (等可能性)每个试验结果出现的可能性相同(?).,设所考虑的(区间平面空间)区域为(?),试验结果是内的随机点, 用事件A表示试验结果落在的一个子区域SA内, 则,例5(P10) Solution 用T表示乘客到达时刻, 记 A = 乘客等候不到5min上车 B = 乘客等候超过10min上车,例6(Buffon投针问题) 针与OM的夹角为.,第四节 概率的公理化定义,Kolmogorov(1933): 公理1(非负性) 公理2(规范性) 公理3(可列可加性) (i j ) 称P(A)为事件A的概率.,未解决如何确定概率的问题. 由概率的公理化定义可以得出概率的以下性质. 性质1 P() = 0. Proof , , , , P( ) = P() P( ) = P() + P() + P() + P() + P() + P() += P(),性质2 Proof = A ,性质3(有限可加性) 两两不相容事件A1, A2, , An: Proof A1, A2, , An, , , ,性质4(减法公式) P(A - B) = P(A) P(AB) Proof A B = A AB. (1) A = (A - B) AB (2) (A - B) AB = 由性质3, 知 推论 若A B, 则P(B - A) = P(B) P(AB) = P(B) P(A) 0.,性质5(加法公式) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Proof A B = (A B) B 由性质3, 得 推广(see bel