（通用版）2020高考数学一轮复习2.6二次函数讲义文.docx

第六节二次函数一、基础知识批注理解深一点1二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数yax2bxc(a0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b24ac的正负决定图象与x轴的交点个数解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0)，闭区间为m，n(1)当m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m时，最小值为f，最大值为f(n)；(3)当n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)三、基础小题强化功底牢一点(1)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()(3)a1是函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数的充分不必要条件()答案：(1)(2)(3)(二)选一选1若二次函数y2x2bxc关于y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为()Ay2x2x3By2x23Cy2x2x3 Dy2x23解析：选B由题可知函数yf(x)为偶函数，则b0.又过点(0,3)，则c3，故解析式为y2x23.2若函数yx22tx3在1，)上为增函数，则t的取值范围是()A(，1 B1，)C(，1 D1，)解析：选A函数yx22tx3的图象开口向上，以直线xt为对称轴又函数yx22tx3在1，)上为增函数，则t1.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B. C. D.解析：选C由题意知即解得a.(三)填一填4函数yx24x2在区间1,4上的最小值为_解析：函数yx24x2的图象开口向下，对称轴为直线x2，所以当x4时，y的最小值为2.答案：25已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则yf(x)的值域为_解析：因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，所以其定义域a1,2a关于原点对称，所以a12a，所以a，因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，即f(x)f(x)，所以b0，所以f(x)x21，x，其值域为.答案： 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 典例已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一：利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：利用零点式由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.解题技法求二次函数解析式的策略题组训练1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)_.解析：法一：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法二：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)依题意得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法三：设所求解析式为f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，将点(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.答案：x2x2已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则函数的解析式f(x)_.解析：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象经过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.答案：x24x3 考法(一)二次函数图象的识别典例若一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2bx的图象只可能是()解析因为一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x0，只有选项C适合答案C解题技法识别二次函数图象应学会“三看”考法(二)二次函数的单调性与最值问题典例(1)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时，有最大值2，则a的值为_(2)设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_解析(1)函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.(2)依题意a0，二次函数f(x)ax22axc图象的对称轴是直线x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以a0，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.答案(1)1或2(2)0,2解题技法1二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题(3)求二次函数最值口诀如下：弃y轴，十字图，对应横轴对称轴；函数草图随意作，开口方向莫疏忽；区间与轴描分布，高低位置最值处；二次函数含参数，逻辑分类谁做主；动兮定兮对称轴，看作静止参照物2二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较考法(三)与二次函数有关的恒成立问题典例(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_解析(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得mk在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范围为(，1)答案(1)(2)(，1)解题技法由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.题组训练1(2019杭州模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则a的值为()A.B1或C1或 D5或解析：选Df(x)424a，对称轴为直线x.当1，即a2时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a1(舍去)当01，即0a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_解析：令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以a的最大值为2.答案：2A级保大分专练1(2019重庆三校联考)已知二次函数yax2bx1的图象的对称轴方程是x1，并且过点P(1,7)，则a，b的值分别是()A2,4B2,4C2，4 D2，4解析：选Cyax2bx1的图象的对称轴是x1，1. 又图象过点P(1,7)，ab17，即ab6. 由可得a2，b4.2已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则a的值为()A1 B0C1 D2解析：选D函数f(x)x24xa的对称轴为直线x2，开口向下，f(x)x24xa在0,1上单调递增，则当x0时，f(x)的最小值为f(0)a2.3一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()解析：选C若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A.5若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(6，) D(，6)解析：选A不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.6已知函数f(x)x22ax3，若yf(x)在区间4,6上是单调函数，则实数a的取值范围为_解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.答案：(，64，)7已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_解析：设f(x)a249(a0)，方程a2490的两个实根分别为x1，x2，则|x1x2|2 7，所以a4，所以f(x)4x212x40.答案：f(x)4x212x408(2018浙江名校协作体考试)y的值域为0，)，则a的取值范围是_解析：当a0时，y，值域为0，)，满足条件；当a0时，要使y的值域为0，)，只需解得0a2.综上，0a2.答案：0,29求函数f(x)x(xa)在x1,1上的最大值解：函数f(x)2的图象的对称轴为x，应分1，即a2三种情形讨论(1)当a2时，由图可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)a1.综上可知，f(x)max10已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1,1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围解：(1)设f(x)ax2bx1(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1,1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，所以在1,1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1,1上恒成立所以令g(x)x23x12，因为g(x)在1,1上的最小值为g(1)1，所以m4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1解析：选D当x0，f(x)f(x)(x1)2，因为x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.所以mn的最小值是1.3已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1，即a时，f(