高等数学实验指导书1.doc

高 等 数 学 实 验 实验指导书南昌工程学院理学系编实验一 函数与极限1.1实验目的了解高等数学实验的含义；初步掌握数学软件Mathematica的用法和基本功能；通过画图语句作函数的图形，利用图形研究函数的性态；通过求极限语句求函数的极限，加深了解x时函数的收敛速度，x0时无穷小的阶和等价无穷小等概念。1.2实验内容一、 数学软件Mathematica简介高等数学实验是以数学理论为指导，以计算机和数学软件为“实验仪器和设备”，来解决高等数学的某些问题的一种实践形式。数学软件是指那些用于数学符号运算、数值计算和绘制几何图形的计算机软件包或软件平台。有了数学软件，就可以利用它们，在计算机上既方便、快捷，又准确和可视化地完成相应的数学问题的求解。随着计算机的迅猛发展，数学软件的发展也非常快。当今世界上流行着多种数学软件，每年都有新的版本或新的产品出现。目前，在国际上最有影响的数学软件有三种：1. The Math Works公司的 Matlab;2. Wolfram Research 公司的 Mathematica;3. Waterloo Maple 公司的 Maple.这三种软件各有特色，我们挑选 Mathematica 作为本高等数学实验的数学软件。Mathematica 是美国伊得诺大学的Stephen Wolfram 教授创办的Wolfram Research 公司开发的一种以数学符号运算为主而不断发展着的数学软件，它有强大的解析运算和数学公式推导、定理证明的功能，适合于纯数学领域的计算机求解。该软件，1988年推出了1.0版，1991年推出2.0版，1996年3.0版，1999年4.0版，我们现在使用的是2003年推出的5.0 版。Mathematica 5.0 版，集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体。在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。Mathematica，操作界面友好，使用方便，扩展便利，已广泛应用于教学、理论研究及工程计算中，受到高等学校广大教师和学生的喜爱。Mathematica 5.0 版的强大功能是通过大量的函数和命令来实现的。Mathematica中的函数可分为内置函数和软件包函数两大类。内置函数共九大类1400个左右，软件包函数共11大类1千余个。每个函数的名称是其对应的英文单词或词组的缩写。要熟悉所有的函数是非常困难的。我们要求大家借助于Mathematica软件中的Help菜单或有关参考书，尽可能地多熟悉些Mathematica 5.0 版的常用的各种函数。观察实验Mathematica 5.0版的安装文件共92.6MB。在Windows环境下，运行其Setup文件，按照提示安装好Mathematica 5.0后，计算机桌面上会出现Mathematica 5.0的图标。双击该图标，便可启动Mathematica 5.0。Mathematica 5.0启动后，在显示器上会显示如图1-1所示的工作窗口（称之为Notebook窗口），系统暂时取名为Untitled-1： 图1-1 Mathematica的工作窗口这时可以键入我们想要计算的东西，比如键入1+2*3/4，然后按下数字键盘上的Enter键或同时按主键盘上的Shift键和Enter键（先按住Shift键不松开，再按下Enter键），这时Mathematica开始工作，计算出结果：后，显示在Notebook窗口。窗口内显示的 “In1:=”表示第一个输入；“Out1=”表示第一个输出结果。这里的“In1:= ”和“Out1:=”是系统自动添加的。接下来我们可以键入第二个输入，第三个输入，。按这样的方式可利用Mathematica进行“会话式”计算。此外，Mathematica还提供给我们一种“批处理”运行方式，即我们可以将Mathematica作为一种算法语言，用它来编写程序，然后让计算机执行该程序。在Mathematica中的Notebook窗口可进行文字编辑，其编辑方式像Word一样，遵从Windows软件的一般约定。Mathematica中数学运算符号的输入也遵从一般程序设计语言的约定，如加、减、乘、除（， ，）分别用“，*，/”表示，乘方用“”表示。另外一种简单而实用的输入方法是利用Mathematica中提供的输入面板。启动Mathematica后，依次点击“FilePalettes4 BasicInput”则出现如图1-2 所示的“基本输入面板”窗口。该面板中包含了常见的数学运算符。点击基本输入面板中的符号，即可输入相应的符号至Notebook窗口。例图1-2 基本输入面板如点击符号后，可输入指数表达式264，再按数字键盘上的Enter键，便得到结果：18446744073709551616。二、 初等函数的计算与作图Mathematica最基本的功能是进行加、减、乘、除、乘方（）、阶乘（！）等算术运算。在Mathematica中，可用空格代表乘号*。Mathematica中算术运算的优先级也符合通常的约定：先圆括号内，再圆括号外；在同一层圆括号内，先乘方、后乘除、最后加减。当输入的式子中不含小数点时，系统作精确运算，输出结果是完全精确的；若无法精确计算，则照原样输出。当输入式子中含小数点时，系统作近似的数值运算，精度取默认值或用户指定的值。例如：输入1/2+1/3，输出为，但若输入1.0/2+1/3，输出为0.833333。要得到计算结果的近似数并指定其有效数字的位数的方法是使用函数N 。在Mathematica中，如果在输入的表达式末尾加上一个分号“；”，表示系统计算完后不在屏幕上显示计算结果，但可利用该结果。例1 分别计算 p 、 、sin1 + 至30位有效数字。实验1、输入：NPi,30得结果：3.141592653589793238462643383282、输入：NE,30得结果：2.718281828459045235360287471353、输入：得结果：23.9821636175871655123815886896注意：Mathematica提供了很多常用的数学常数，如：Pi圆周率Infinity正无穷大E自然对数的底I虚数单位GoldenRatio黄金分割数0.61803Degree在计算中，若要多次用到同一个数值，可将该数值赋给一个自定义的变量。给所定义的变量赋值后，这一变量值将一直保持不变，直到重新给它赋值或使用清除命令Clear 将它清除。在Mathematica中，对于变量名没有长度限制，但变量名不能以数字开头。Mathematica中有一种简便的输入方法：用%表示至目前为止的倒数第一个输出结果，而%表示至目前为止的倒数第二个输出结果，以此类推；用%n表示第n个输出结果。Mathematica提供了许多常用函数，包括基本初等函数和若干特殊函数，如：Sqrtx平方根(square root)函数Expx指数(exponential)函数Logx自然对数(logarithm)Logb,x以b为底的对数函数Absx绝对值(absolute value)函数Signx符号函数Minx,y,取最小值函数Maxx,y,取最大值函数Floorx小于或等于x的最大整数Ceilingx大于或等于x的最小整数Roundx四舍五入函数Random取0和1之间的随机数三角函数(Trigonometric function)与反三角函数(Inverse trigonometric function)：Sinx Cosx Tanx Cotx Secx CscxArcSinx ArcCosx ArcTanx ArcCotx ArcSecx ArcCscx双曲函数(Hyperbolic function)与反双曲函数(Inverse hyperbolic function)：Sinhx Coshx Tanhx Cothx Sechx CschxArSinhx ArcCoshx ArcTanhx ArcCothx ArcSechx ArcCschx我们可利用帮助Help菜单来查询所需函数的用法。在Mathematica中，要严格区分大小写英文字母。书写函数名时，要严格按照原样输入，否则便会发生语法错误。函数名后面的表达式一定要放在方括号内。例2 分别作出绝对值函数、符号函数、取整函数的图形。实验1、输入：PlotAbsx,x,-10,10得结果：2、输入：PlotSignx,x,-10,10得结果：3、输入：PlotFloor x,x,-10,10得结果：说明：Plot为二维作图函数， Plot f, x, xmin, xmax generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax.例3 作出如下分段函数的图形：实验输入：得结果：例4 在同一坐标系中，分别用红色、绿色实线作出函数sh x、ch x 的图形，用蓝色、黄色虚线作出函数、 的图形。实验输入：PlotRange 表示y轴范围Dasging 表示虚线 0.05 表示线长得结果：说明：在二维作图函数Plot中，可设置若干选项，例如：PlotRange is an option for graphics functions that specifies what points to include in a plot. AspectRatio is an option for Show and related functions which specifies the ratio of height to width for a plot. AspectRatio - Automatic determines the ratio of height to width from the actual coordinate values in the plot.而设置线条或点的样式，其中RGBColorred, green, blue是设置颜色红、绿、兰的指令，0 red, green, blue 1；Dashing ， ，令虚线段的长度依次取， ，。三、 函数极限的计算例5 分别研究下列数列的变化趋势：、。实验1、输入：t=Tablen/(n+1),n,1,100;ListPlott 得结果：由上图可知：2、输入： 得结果：由上图可知：3、输入： 得结果：由上图可知：4、输入：得结果：由上图可知：5、输入： 得结果：由上图可知：6、输入： 得结果：由上图可知：说明：Table为定义表格函数，它的完整格式是： Tableexpr, i, imin, imax, di，其中di为步长，省略时默认为1；imin为i的开始值，省略时默认为1；imax为i的终止值，不能省略。ListPlott画出点列 t 。例6 分别求下列数列当时的极限：、。实验1、输入： 得结果：12、输入： 得结果：3、输入： 得结果：04、输入： 得结果：。这表示极限不存在。5、输入： 得结果：16、输入： 得结果：再输入：N%，30得结果：2.71828182845904523536028747135说明：Limitexpr, x- finds the limiting value of expr when x approaches .例7 分别求下列分段函数当时的左、右极限，并作出该函数的图形加以验证：实验输入：fx_:=Whichx0,x+1;Limitfx,x0,Direction1Limitfx,x0,Direction-1Plotfx,x,-1,1,PlotStyle-RGBColor1,0,1,Thickness0.005;ListPlot0,f0,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.03;Show%,% 得结果：-1，1说明：Which, , , , evaluates each of the in turn, returning the value of the corresponding to the first one that yields True.Limitexpr, x-, Direction - 1 computes the limit as approaches from smaller values. Limitexpr, x-, Direction - -1 computes the limit as approaches from larger values.Thicknessr is a graphics directive which specifies that lines which follow are to be drawn with a thickness r. The thickness r is