材料力学应力与应变分析.ppt

第五章 应力与应变分析,第一节 应力状态的概念,拉压杆内一点M 的应力单元体:,一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),回顾横力弯曲时横截面上点的应力:,考虑中性层上的A点,正应力等于0，切应力最大,考虑梁边缘上的B点,正应力最大，切应力为0,同一面上不同点的应力各不相同。,此即应力的点的概念,数学中的点是没有意义的。用极限的概念来描述一个点 。,围绕 a 点取一微小的六面体，称为单元体,六个面都表示通过同一点 a 的面，只 是方位不同而已。,相平行的两个面是表示过该点的同一 截面的不同侧方向。,1、一点的应力状态表示,PART A 应力状态的概念,2、单元体,微元单元体,单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。,一点的应力状态表示,如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面的应力分量亦不相同,一点的应力状态表示,若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存在三个应力分量：一个法向分量正应力 ；两个切向分量切应力 和 ，这样,单元体上共有九个应力分量。 （ ）,切应力互等定律,同理,在受力构件内过一点相互垂直的两个微面上，垂直于两微面交线的切应力大小相等，方向相向或相背。这一规律称为切应力互等定律。,PART A 应力状态的概念,3、单向拉伸斜截面上的应力,经过计算可得到单向拉伸斜截面上的应力为:,PART A 应力状态的概念,4、应力的面的概念,即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,PART A 应力状态的概念,5、应力状态的概念,应 力,哪一个面上？ 哪一点？,哪一点？ 哪个方向面？,指明,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）,PART A 应力状态的概念,6、主单元体、主平面与主应力,主单元体(Principle body)： 各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面(Principle Plane)： 切应力为零的截面。,主应力(Principle Stress ）： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面。,PART A 应力状态的概念,6、主单元体、主应力与主平面,主应力排列规定：按代数值大小，,若,PART A 应力状态的概念,7、单向、二向、三向应力状态,三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态,PART A 应力状态的概念,7、单向、二向、三向应力状态,三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态,PART A 应力状态的概念,7、单向、二向、三向应力状态,三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态,应力状态分类,三向应力状态,二向应力状态,单向应力状态,三向应力状态,二向应力状态,单向应力状态,纯切应力状态,纯切应力状态,一点应力状态：指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况。,研究应力状态的目的：确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规 律，确定在那个方向正应力最大，那个方向切应力最 大，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度 条件。,单元体的应力状态就代表了该点处的应力状态。,单元分析法：在所要研究点处取一微小的正六面体单元体,主平面：切应力为零的平面。,主应力：主平面上的正应力。,过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,注：应力状态的分类，是根据主应力不等于零的个数来确定。,取单元体示例一,S截面,S 截面,取单元体示例二,S 截面,二向和三向应力状态的实例,第二节 平面应力状态分析的解析法,PART B 二向应力状态分析的解析法,1、截面上的应力,二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：,上述方向均为正方向,PART B 二向应力状态分析的解析法,1、截面上的应力,研究任意斜截面的应力,通过截面外法线的方位定义截面的位置,PART B 二向应力状态分析的解析法,1、截面上的应力,对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的一般公式:,PART B 二向应力状态分析的解析法,2、应力极值,sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，对a求导数可得到其极值。,若a = a0时，导数为0,通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。,PART B 二向应力状态分析的解析法,2、应力极值,若将a0的值代入切应力公式:,可得:ta0=0,得到以下结论:,1) 切应力为0的平面上，正应力为最大或最小值；,2) 切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或者最小的正应力。,将a0代入sa的计算公式，,计算得到最大和最小正应力,主平面的方位,主应力的大小,讨论：,1)、,2)、 的极值主应力以及主平面方位,可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,3)、 切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力 所在的位置,xy 面内的最大切应力,由,主平面的位置,最大切应力 所在的位置,将 与 画在原单元体上。,PART B 二向应力状态分析的解析法,例5-1,讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。,PART B 二向应力状态分析的解析法,圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为:,在圆轴表层，取出单元体。,PART B 二向应力状态分析的解析法,n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示,3个主应力按照代数排序,PART B 二向应力状态分析的解析法,圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。,PART B 二向应力状态分析的解析法,例5-2,如图所示横力弯曲的梁，求出I-I截面上的弯矩和剪力后，计算得到单元体A上的正应力 s = -70MPa, 切应力t =50MPa，确定该点的主应力大小及主平面的方位。,PART B 二向应力状态分析的解析法,取x轴向上：,代入,PART B 二向应力状态分析的解析法,第三节 应力圆及其应用,PART C 二向应力状态分析的图解法,Christian Otto Mohr (1835-1918) Professor of Engineering Mechanics Stuttgart Polytechnikum Otto Mohr became one of Europes most decorated engineers of the 19th century. He entered Hannover Polytechnical Institute at the age of 16. Borrowing upon earlier work, he expanded the graphical representation of stress about a point to three dimensions. Later, using the “circles of stress” with which his name is now commonly associated.,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,平面应力的应力状态分析 图解法,对上述方程消参数（2），得：,一、应力圆：,圆心：,半径：,应力圆：,应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某一截面上正应力和切应力,二.应力圆的画法,绘制步骤：,1、取直角坐标系,2、取比例尺（严格按比例做图）。,3、找点 , .,4、连 交s 轴于 C 点，以C为圆心，CD 为半径画圆应力圆。,三、证明：,证得圆心位置：,证得半径为：,s,t,o,四、图解法的应用,以D为基点，转2a 的圆心 角至E点 ，转向 与单元体面转过的方向相同。,2、主应力,3、主平面位置 以D为基点，转到 A1点，其圆心角为 2a0 ，逆时针时a0为“”；顺时针时 a0 为“”。（a0主平面的位置)。,s,t,o,C,1、求斜截面上应力,4、切应力的极值及所在位置,以D为基点，转到G1点， 其圆心角为2a 1 。,由应力圆可证明 最大正应力与最大剪应力 所在平面相差450,s,t,o,C,a0,证明：（ 2角的关系）,证毕,利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）,注意A1,A2两点,这两点的切应力为0 主应力,主应力是按照代数值排序的，而不是按照绝对值排序。,注意根据两倍角关系确定主平面所在的位置。,D,60,E,2、量出所求的物理量,解：1、按比例画此单元体对应的应力圆,例5-3：求 1）图示单元体a = 300 斜截面上的应力 2）主应力、主平面（单位：MPa）。,课堂练习: 用应力圆求图示单元体斜面de上的正应力和切应力 单位MPa 时间:4分钟（画出应力圆及代表该斜面的点即可）,利用MDSolids的应力圆模块得到结果:,特殊情况下的应力圆,单向应力状态下的应力圆:,B,E,主应力单元体,纯剪切应力状态的应力圆:,梁的主应力及其主应力