线性方程组解的结构.ppt

第3章 线性方程组,二、齐次线性方程组解的结构,三、非齐次线性方程组解的结构,下页,一、线性方程组的一般表示形式,高斯消元法与矩阵的初等行变换,基本概念,1.1 线性方程组的一般表示形式,含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为,若b=(b1, b2, bm)o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.,下页,第1节 高斯消元法,(1),代数方程,可用矩阵形式表示为 AX= b ,对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),矩阵方程,可用向量形式表示为,对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),向量方程,定义2 若以n个数组成的有序数组c1, c2, , cn替代未知量x1, x2, , xn，使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称该有 序数组c1, c2, , cn是方程组(1)的一个解. 即若c1, c2, , cn是方程组(1)的一个解，则有：,方程组的解,A称为方程组的系数矩阵.,称为方程组的增广矩阵.,下页,系数矩阵与增广矩阵,定义1,下页,代数方程,矩阵方程,向量方程,其中,若c1, c2, , cn是方程组(1)的一个 解，则有成立，反之亦然.,方程组的解为,于是得到,x2 =3-2x3,=-1,=-7,x1=3+2x2-4x3,x3=2,解：,r1r2,r2-3r1,r3+r1,r3-2r2,1.2 消元法解方程组过程,下页,例1.,用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程.,1.3 消元法与矩阵的初等行变换,下页,用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程.,1.3 消元法与矩阵的初等行变换,下页,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,第2节 齐次线性方程组解的结构,2.1 齐次线性方程组有非零解的条件,齐次线性方程组为 AXo ,则AXo可表示为向量组合式,若把矩阵A按列分块为,根据向量组相关性的定义，有,定理1 齐次线性方程组AXo有非零解的充要条件是：矩阵 的列向量组a1, a2, ，an线性相关.,其中,即r(A)n.,下页,特别 当A为方阵时，为Cramer法则的例外情况之一.,2.2 齐次线性方程组解的性质,性质1 若x1，x2 都是齐次线性方程组AXo的解，则X x1+x2 也是它的解.,这是因为,A(x1+x2),Ax1Ax2,=o.,o o,性质2 若x是齐次线性方程组AXo的解，k为实数，则Xkx 也是它的解.,这是因为,A(kx),k(Ax),o.,k(o),推论 如果x1, x2, , xs是齐次线性方程组AXo的解，则其 线性组合,仍是AXo的解.,为任意常数.,其中,下页,基础解系的概念,定义3 设x1, x2, , xs 都是AXo的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AXo的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示， 则称x1, x2, , xs为线性方程组AXo的一个基础解系.,定理2 设A是mn矩阵，若r(A)=rn，则齐次线性方程组 AXo的基础解系含有n-r个解向量.,即当r(A)=rn时，齐次线性 方程组 AXo 解向量组的秩为 n-r.,下页,2.3 齐次线性方程组解的结构,证：因为r(A)= r , 所以可 利用初等行变换把A化为行最 简形矩阵, 不失一般性设其为,由此得到原方程组的等价 方程组(同解方程组)：,进而得到方程组用自由未知 量表示的一般解：,下页,从而得到方程组的 n-r个解向量:,由(*)式分别得到相应的解,令,由此得到方程组用自由未 知量表示的一般解：,下页,下证,是方程组,的一个基础解系.,由左下式可以看出,的后n-r个分量，就是n-r个n-r维 单位向量，它们是线性无关的， 因而添加了r 个分量的向量组也 是线性无关的.,下页,令,先证向量组,线性无关.,从而得到方程组的 n-r个解向量:,由(*)式分别得到相应的解,再证方程组的任意一个解,线性表示.,设,因,都是方程组,的解，所以它们的线性组合,(1),(2),是方程组的任一解.,方程组的n-r 个解向量:,下页,也是方程组的解.,都可由,而线性组合,下页,因(3)与(1)式它们最后n-r 个分量相同，而前r 个分量都 是由(*)式方程解出的, 从而也 相同，因而两个解完全一样.,所以，,是方程组的一个基础解系.,(3),(1),求解齐次线性方程组流程图,下页,系数矩阵A,阶梯形矩阵B,r(A)=n,唯一零解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解,求出基础解系,写出通解,初等行变换,初 等 行 变 换,Y,N,初等 行变换,确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图,下页,对应的变量为约束未知量(r个),对应的变量为自由未知量(n-r个）,例1解线性方程组,解：,由于r(A)=3=n,所以方程组只有零解，即,下页,显然，齐次方程组AX0，当r(A)=n时，只有零解.,因为秩(A)=24，所以方程组有非零解.,解：,下页,解：,一般解为,令,得基础解系,通解为,下页,解：,一般解为,通解为,得基础解系,令,下页,根据向量组线性组合的定义，有,定理3 非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是：列向量 b是系数矩阵A的n个列向量a1, a2, ，an的线性组合.,即 .,下页,第3节 非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组为 AXb ,则AXb可表示为向量组合式,若把矩阵A按列分块为,其中,3.1 非齐次线性方程组有解的条件,性质3 若h1，h2 是AXb的解，则h1-h2 是其导出方程组 AXo的解.,这是因为,A(h1-h2),Ah1-Ah2,=o.,b- b,性质4 若h是AXb的解，x导出方程组AXo的解, 则 x+h是AXb的解.,这是因为,A(xh),AxAh,obb .,下页,3.2 非齐次线性方程组解的性质,说明 若h0是AXb的一个确定的解，为了讨论问题的方便, 有时也称其为AXb的一个特解.,其中，k1, k2, , kn-r为任意常数.,定理4 设h0是AX=b的一个特解，x1, x2, , xn-r是其导出 方程组AX=o的基础解系，则AX=b的通解为,下页,3.3 非齐次线性方程组解的结构,证明: 设h是AX=b的任意一个解，则h -h0是其导出方程组 AX=o的一个解，从而可用AX=o的基础解系x1, x2, , xn-r表示， 即 h -h0k1x1k2x2+ kn-rxn-r , 于是AX=b的任一解可表示为 hh0+k1x1k2x2+ kn-rxn-r , k1, k2, , kn-r为任意常数.,求解非齐次线性方程组流程图,下页,增广矩阵(Ab),阶梯形矩阵B,r(Ab)=r(A),方程组无解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解,求AX=o的基础解系,写出通解,初等行变换,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行变换,Y,N,求AX=b的一个特解,问题： Creamer法则对应的流程？ Creamer法则中, 当系数行列式 D=0时, 对应的流程?,例4解线性方程组,(A b)=,解：,下页,显然 r(A)=2，r(Ab)=3,即 r(A)r(Ab)， 所以方程组无解.,解：,(x2，x4为自由未知量)，,得方程组的特解为,由于 ，,令,所以方程组有无穷多组解， 其一般解为,对应齐次方程组的一般解为,令,下页,得基础解系为,得方程组的特解为,令,对应齐次方程组的一般解为,令,方程的通解为,(k1，k2是任意常数) .,下页,例6.已知线性方程组为,讨论参数 p, t 取何值时,方程组 有解？无解？有解时求通解.,(1)当2t0时，即t-2 时，方程组无解；,(2)当2t0时，即t-2 时，方程组有解.,解：,(A b)=,下页,当8p0, 即p8时,通解为,(k为任意常数).,下页,一般解为,(1)当2t0时，即t-2 时，方程组无解；,(2)当2t0时，即t-2 时，方程组有解.,通解为, 当8p=0,即p=8时,对应方程组的一般解为,(k1,k2为任意常数) .,下页,1. 设A为n阶方阵，若齐次线性方程组AX=o有非零解，则 它的系数行列式（ ）,2. 设X是AXb的解， X是其对应齐次方程AXo的解， 则XX是（ ）的解,一、填空题,1. n元齐次线性方程组AXo存在非零解的充要条件是（ ） A的列线性无关； A的行线性无关； A的列线性相关； A的行线性相关,2. 设x，x是AX=o的解，h，h是AXb的解，则（ ） xh是AXo的解； hh为AXb的解； xx是AXo的解； x- x是AXb的解,二、单选题,=0,AX=b,下页,三、判断题 （1）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩 等于未知量的个数，则方程组就有唯一解； （2）n个方程n个未知量的线性方程组