2020高考数学刷题首选卷考点测试64离散型随机变量的均值与方差（理）（含解析）.docx

离散型随机变量的均值与方差、正态分布高考概览考纲研读1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义一、基础小题1设随机变量XN(1，52)，且P(X0)P(Xa2)，则实数a的值为()A4 B6 C8 D10答案A解析x0与xa2关于x1对称，则a22，a4故选A2抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是()A B C D答案C解析由题意，一次试验成功的概率为1，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数XB，所以E(X)故选C3某种种子每粒发芽的概率都为09，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案B解析种子发芽率为09，不发芽率为01，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则B(1000，01)，E()100001100，故需补种的期望为E(X)2E()200故选B4已知随机变量X8，若XB(10，06)，则E()，D()分别是()A6和24 B2和24 C2和56 D6和56答案B解析由已知随机变量X8，所以有8X因此，求得E()8E(X)810062，D()(1)2D(X)10060424故选B5现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为()A6 B C D9答案B解析记此人得奖金额为随机变量X，则X的可能取值有6，9，12，且P(X6)，P(X9)，P(X12)，则E(X)6912故选B6某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布N(105，102)，已知P(95105)032，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A10 B9 C8 D7答案B解析因为N(105，102)，P(95105)032，所以P(105115)032018，所以此次数学考试成绩不低于115分的学生人数为500189故选B7体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)175，则p的取值范围是()A0， B，1 C0， D，1答案C解析由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3175，解得p或p，又由p(0，1)，可得p0，故选C8已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)则随机变量X落在区间(1，3)内的概率为()A B Ce2e De2e答案B解析由随机变量X的概率密度函数的意义得Pexdxex31故选B二、高考小题9(2017浙江高考)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)答案A解析由题意可知i(i1，2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)又0p1p2，E(1)E(2)把方差看作函数yx(1x)，根据0p1p2知，D(1)D(2)故选A10(2018浙江高考)设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0，1)内增大时()AD()减小BD()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小答案D解析由题意得E()012p，D()0p21p22p2(12p)2(1p)(12p)2(32p)2pp2pp2由得0p1，D()在0，上单调递增，在，1上单调递减故选D11(2015湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(附：若XN(，2)，则P(X)06826，P(2X2)09544)A2386 B2718 C3413 D4772答案C解析由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，所以P(1X1)06826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1P(Y2)P(Y1)，故A错误；由图象知1P(X1)，故B错误；对任意正数t，由题中图象知P(Xt)P(Yt)，故C正确，D错误13(2017全国卷)一批产品的二等品率为002，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_答案196解析由题意得XB(100，002)，D(X)100002(1002)196三、模拟小题14(2018长春质监)已知随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(2)015，则P(01)()A085 B070 C035 D015答案C解析P(01)P(12)05P(2)035故选C15(2018山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800，502)则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据：若XN(，2)，有P(X)06826，P(2X2)09544，P(3900)00228，P(X900)10022809772故选A16(2018西安质检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E()()A3 BCD4答案C解析由题意知的可能取值为2，3，4，P(2)，P(3)，P(4)1P(2)P(3)1，E()234故选C17(2018广东茂名一模)设XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若XN(，2)，则P(X)6826%，P(2X2)9544%)A7539 B6038 C7028 D6587答案D解析XN(1，1)，1，1P(X)6826%，P(0X2)6826%，则P(1X0)08，则P(X2)_答案02解析随机变量X服从正态分布N(1，2)，正态曲线关于直线x1对称，P(x2)P(X0)1P(X0)02一、高考大题1(2018北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率04020150250201好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢，“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k1，2，3，4，5，6)写出方差D(1)，D(2)，D(3)，D(4)，D(5)，D(6)的大小关系解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000，第四类电影中获得好评的电影部数是20002550故所求概率是0025(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为P(AB)P(A)P(B)P(A)(1P(B)(1P(A)P(B)由题意知，P(A)估计为025，P(B)估计为02故所求概率估计为0250807502035(3)由两点分布方差公式可知D(k)p(1p)所以D(1)04(104)024，D(2)02(102)016，D(3)015(1015)01275，D(4)025(1025)01875，D(5)02(102)016，D(6)01(101)009所以D(1)D(4)D(2)D(5)D(3)D(6)2(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：99510129969961001992998100410269911013100292210041005995经计算得i997，s0212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到001)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)09974，099741609592，009解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为09974，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为00026，故XB(16，00026)因此P(X1)1P(X0)1099741600408X的数学期望E(X)160002600416(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有00026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有00408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由997，s0212，得的估计值为997，的估计值为0212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据922，剩下数据的平均数为(16997922)1002因此的估计值为100216021221699721591134，剔除(3，3)之外的数据922，剩下数据的样本方差为(159113492221510022)0008，因此的估计值为0093(2017北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“ *”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于17的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为03(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于17的有2人：A和C所以的所有可能取值为0，1，2P(0)，P(1)，P(2)所以的分布列为012P故的数学期望E()0121(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差二、模拟大题4(2018湖南湘潭二模)某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数N(127，72)(1)求该校此次数学考试平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次数学考试，X表示数学考试进入年级前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差注：若XN(，2)，则P(X)6826%，P(2X141)P(12727)1P(22)00228，故得分超过141分的人数为10000022823(3)由题意知XB4，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)4，P(X1)C13，P(X2)C22，P(X3)C31，P(X4)4，故X的分布列为X01234P期望E(X)np41，方差D(X)np(1p)45(2018广州综合测试二)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(，2)，其中，2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过8481分(含8481分)的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过8481分的考生人数为，求P(3)(精确到0001)附：s220475，1431；zN(，2)，则P(z)06826；P(2z2)09544；0841340501解(1)由题意知，中间值455565758595频率0101502030150145015501565027503850159501705，这4000名考生的竞赛平均成绩为705分(2)依题意z服从正态分布N(，2)，其中705，2s2