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文档简介

第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,一、隐函数的导数,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .,则称此,例如,称为隐函数的显化 .,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,(把 y 看成 x 的函数),例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,观察函数,解,等式两边取对数得,例3,例4. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,1) 对幂指函数,可用取对数求导法 :,2) 有些显函数（多个函数相乘）用对数求导法求导很方 便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,例5. 已知摆线,解:,?,例6. 设, 且,求,已知,解:,练习: P111 题8(1),解:,注意 :,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,1. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对
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