届高三数学二轮复习01讲分类讨论思想.ppt

专题一 数学思想方法 第1讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 每个数学知识领域.,2.分类讨论的原则 （1）分类标准统一，对象确定，层次分明. （2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. （3）分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结 果作以整合概述. 3.分类讨论的步骤 （1）确定讨论对象的主体； （2）选取恰当科学的分类标准； （3）逐类讨论，获得阶段性成果； （4）归纳整合，得出结论.,【例1】已知数列an的前n项和为Sn=32n-n2，求其 通项公式an. 分析 依Sn的意义知：an=Sn-Sn-1，化简即可，但 要注意单独求a1=S1. 解 当n=1时，a1=S1=31. 当n2,nN*时，an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n- 1)+(n-1)2=33-2n. 考察a1=33-21=31,a1也适合an=33-2n. 综上,an=33-2n （nN*）.,探究拓展 当一般性的结论在个别个体上无法使 用，或个体属性特别时，往往要单独解决，这是 产生分类讨论的基础.就本例而言，an=Sn-Sn-1， 在n=1时，没有意义（a1无前项），只有单独求 a1=S1,而在求得a1与an (n2,nN*)之后，还应 考察a1是否适合an（n2,nN*）时的规律，若 适合则合并写出an,否则，分段表述an. 变式训练1 （2009徐州、淮安调研）已知集合 A=3，m2，B=-1，3，2m-1，若AB,则实数 m的值为 . 解析 ABm2Bm2=-1或m2=2m-1m=1.,1,【例2】若不等式mx2+mx+20对一切实数x恒成立， 试确定实数m的取值范围. 解 （1）当m0时，mx2+mx+20对于一切实数x （2）当m=0时，原不等式为20,显然对一切实数x 恒成立. 综合（1）、（2）可得，当0m8时，对一切实 数x不等式恒成立.,恒成立的充要条件是,探究拓展 某些学生一见到有“二次”出现，往 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练2 已知mR，求函数f(x)=(4-3m)x2- 2x+m在区间0，1上的最大值. 分析 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下求 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论.,解 （1）当4-3m=0,即 它在0，1上是减函数，所以 （2）当4-3m0，即 y是二次函数. 若4-3m0,即 二次函数y的图象开口向 上，对称轴 它在0，1上的最大 值只能在区间端点达到（由于此处不涉及最小 值，故不需讨论区间与对称轴的关系）. f(0)=m,f(1)=2-2m. 当m2-2m,又,当m2-2m, 若4-3m0，即 时，二次函数y的图象开 口向下，又它的对称轴方程 所以函 数y在0，1上是减函数. 于是ymax=f(0)=m. 由（1）、（2）可知，这个函数的最大值为,【例3】（2009连云港调研）已知不等式 的解集为a，b（a,b是常数，且 0ab）,求a、b的值. 分析 由于 的对称轴为x=2,区间 含参数可按a、b、2的大小关系进行分类. 解 设 显然，其对称轴为x=2. （1）当a2b时，如图1所示，函数f(x)的最小值 为1，a=1. 又axb,图1,此时，函数f(x)在a，b上的最大值为f(1)或 f(b). f(b)为最大值. 又由于f(x)在1,b上的值域为1,b， f（b）=b. （2）当2ab时，如图2所示， 函数f(x)在a,b上递增， f（a）=a，f（b）=b.,图2,解之，得a=b=4,这与已知0ab矛盾，应舍去. （3）当0ab2时，如图3所示，函数f(x)在a,b 上递减， f（a）=b，f（b）=a，,图3,解之，得 这与0ab矛盾，应舍去. 综上可知,a=1,b=4. 探究拓展 对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取，本例是典型的“定轴，动区 间”类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问 题，见本例变式训练，备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之处. 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨 论分别叙述.,变式训练3 设A点的坐标为(a,0），aR，求曲 线y2=2x上的点到点A距离的最小值d. 分析 本题是求两点间距离的最小值问题，代入 距离公式、转化为求二次函数的最值问题.注意抛 物线上的点（x,y）应满足x0. 解 设M（x,y）为曲线y2=2x上一点. 由于x0，二次函数f(x)=x-(a-1)2+2a-1的顶 点的横坐标为x=a-1,由此作如下讨论： (1)当a1时，当x=a-1时，|MA|min=,（2）当a1时，二次函数f(x)在区间0，+）上 单调递增， 当x=0时取最小值, 【例4】某城铁路线上依次有A，B，C三站，AB=5 km，BC=3 km.在列车运行时刻表上，规定列车8时 整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时 12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正 点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速 度v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与,时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站 的运行误差. （1）分别写出列车在B，C两站的运行误差； （2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超 过2分钟，求v的取值范围. 解 （1）由题意知,列车在B、C两站的运行误差 （单位：分钟）分别是 （2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2 分钟，,探究拓展 解应用类的问题首先是构建数学模 型，其次是对所建立数学模型进行处理.本例中构 造了含两个绝对值的不等式，其解决办法是依据 绝对值的含义利用零点分段法将其化简，分类讨 论后还要将各种情况合并起来作为一个整体来作 答.对于实际应用类问题，还要将建立起来的数学 模型的答案回归到实际问题上去，保证不失去实 际意义.,变式训练4 有三个新兴城镇，分别位 于A，B，C三点处，且AB=AC=13， BC=10.今计划合建一个中心医院， 为同时方便三镇，准备建在BC的垂直 平分线上的P点处（建立坐标系如图所示）. （1）若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应 位于何处？ （2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应 位于何处？ 解 （1）设P的坐标为（0，y）， 由图可知A(0,12),B(-5,0),C(5,0). 则P至三镇距离的平方和为 f（y）=2（25+y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146，,当y=4时，f(y)min=146. 即点P应位于（0，4). 当点P为（0，4）时到三镇距离的平方和最小. (2)P至三镇的最远距离为,规律方法总结 1.分类讨论是“化整为零”“各个击破” “积零为整”的数学方法，其原则是： （1）分类标准统一、对象确定. （2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. （3）分层讨论，不能越级讨论.有时，还要对讨论 的结果综合起来概述. 2.需要分类讨论的知识点大致有： 绝对值的概念；根式的性质；一元二次方程的判 别式符号与根的情况；二次函数二次项系数的正 负与抛物线开口方向；反比例函数 (k0)的 比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数k，一次函,数y=kx+b (k0)的斜率k与图象位置及函数的单调 性的关系；幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义 域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax (a0 且a1)、对数函数y=logax (a0,a1)中底数a的 范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公 比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类； 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号 方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥 曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用 点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的 终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等.,3.分类讨论产生的时机： （1）涉及的数学概念是分类定义的. （2）运算公式、法则、性质是分类给出的. （3）参数的不同取值会导致不同的结果. （4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果. （5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质 引发不同的结论. （6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便 于解决. （7）实际问题的实际意义决定要分类讨论.,一、填空题 1.过点P（2，3）且在坐标轴上的截距相等的直线方 程是 . 解析 从几何图形特征上看，分截距等于零、不 等于零两种情况，所求直线方程为,2.直线l过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线l的 距离等于1，则直线l的方程为 . 解析 直线l的斜率不存在时，满足条件的方程为 x=-2,当斜率存在时，设l的方程为y-1=k(x+2),由 点到直线的距离公式，可得 所以直线l的方 程为4x+3y+5=0或x=-2.,4x+3y+5=0或x=-2,3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩 形，则它的体积为 . 解析 正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽 分别为2和4、或4和2两种情况进行讨论. 4.已知正三角形的边长为3，到这三个顶点A、B、C 的距离都等于1的平面的个数是 . 解析 过AB、AC中点与BC平行的平面有2个，此 类平面有32=6个,还有与平面ABC平行且距离为 1的2个平面.故应有8个平面满足题意.,8,5.（2009江苏押题）等比数列an中，a3=7,前3 项之和S3=21,则公比为 . 解析 当q=1时，a3=3,S3=21合题意； 6.（2009通州调研）将一颗骰子连续掷三次，它 落地时向上点数依次成等差数列的概率为 (结果用最简分数表示). 解析 基本事件总数为666,按公差为0、1、 2、-1、-2共分五类,能依次成等差的基本事件数18.,二、解答题 7.不等式(k2-1)x2+2(k+1)x+10对于xR恒成立,求 实数k的取值范围. 解 (1)若k2-1=0即k=1时,分别将k=1代入原不 等式验证得k=-1时不等式恒成立; (2)若k2-10时,则 解得k-1. 由(1)(2)得k-1.所以k的取值范围是(-,-1.,k2-10, 4(k+1)2-4(k2-1)0.,8.已知函数f(x)=2asin2x- asin xcos x+a+b (a0)的定义域为 值域为-5，1，求常 数a，b的值. 解 f（x）=a（1-cos 2x）-3asin 2x+a+b 由于f(x)的值域为-5，1，可得：,9.已知方程mx2+2y2=m+1 (mR)对于不同范围的m 值,分别指出方程代表的图形. 解 当m=0或m=-1时,系数出现零,因此要对m=0和 m=-1的情况进行讨论; 当m0且m-1时,方程变形为 由 这样-1,0,2,把数轴分成四个 区间,所以要分多种情况讨论. (1)当m=0时,方程为2y2=1,即 图形为两 条平行直线; (2)当m=-1时,方程为-x2+2y2=0,即 图形 为两条相交直线;,综上,当 m2时,图形为焦点在y轴上的椭圆.,10.设函数f(x)=xekx (k0). (1)求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数f(x)在区间（-1，1）内单调递增，求k 的取值范围. 解 (1)f(x