2019届高考数学专题三不等式第2讲基本不等式与线性规划学案.docx

第2讲基本不等式与线性规划 1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点1. (2018南京学情调研)已知实数x，y满足条件则z3x2y的最大值为_答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域目标函数的斜率为，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为6. 2. (2018苏锡常镇调研一)已知a0, b0，且，则ab的最小值是_答案：2解析：因为2，所以ab2，当且仅当时，取等号3. (2018启东调研测试)设x，y满足则zxy的最大值为_答案：解析：线性规划的最优解为，故zxy.4. (2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_答案：8解析：由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab228，当且仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8.,一) 简单的线性规划问题,1) 若x，y满足约束条件(1) 求目标函数zxy的最值；(2) 若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1) 作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直线xy0，过A(3，4)取最小值2，过C(1，0)取最大值1，所以z的最大值为1，最小值为2.(2) 直线ax2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围是(4，2)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z值最大故zmax2528.,二) 非线性目标函数的最值问题,2) (2018泰州中学学情调研)已知点P(x，y)满足则z的最大值为_答案：3解析：画出满足条件的可行域，如图所示，由z表示过平面区域的点(x，y)与(0，0)的直线的斜率，由得A(1，3)，显然直线过A(1，3)时，斜率最大，即z取得最大值，zmax3.(2018姜堰、泗洪调研测试)设0b(ax)2的解集中整数解恰有3个，则实数a的取值范围是_答案：(1，3)解析：不等式(xb)2(ax)2的解集中整数解恰有3个，所以a1，不等式的解集为x.因为0ba1，所以不等式的整数解为2，1，0，所以32，2(a1)b3(a1)，作出0ba1，2(a1)b3(a1)，对应的可行域ABC区域(包括边界AB，不包括边界AC，BC)，A(1，0)，B(2，3)，C(3，4)，得区域上的点的横坐标的范围是(1，3),三) 利用基本不等式求二元函数的最值,3) 已知f(x)x2xk，kZ.若方程f(x)2在(1，)上有两个不相等的实数根(1) 求k的值；(2) 求的最小值及对应的x值解：(1) 设g(x)f(x)2x2xk2，由题设有解得k.又kZ，所以k2.(2) 因为k2，所以f(x)x2x2(x)20，所以f(x)24，当且仅当f(x)，即f2(x)4时取等号因为f(x)0，所以f(x)2时取等号，即x2x22，解得x0或1.故当x0或1时，取得最小值4.(2018徐州期中)已知实数F(0，0，1)满足x2y23，|x|y|，则的最小值为_答案： 解析：因为(2xy)2(x2y)25(x2y2)15，所以令(2xy)2t，(x2y)2，所以t15，(t)(54)，当且仅当t5，10时取等号所以的最小值为.,四) 多元函数的最值问题,4) (2018淮安期中)在锐角三角形ABC中，9tan Atan Btan Btan Ctan Ctan A的最小值为_答案：25解析：不妨设AB，则C2A，因为ABC是锐角三角形，所以A，所以tan A1，所以9tan Atan Btan Btan Ctan Ctan A9tan2A2tanA tan C9tan2A2tan Atan(2A)9tan2A2tan Atan 2A9tan2A9tan2A49(tan2A1)1325(当且仅当tan2A时等号成立)，所以9tan Atan Btan Btan Ctan Ctan A的最小值为25.方法归纳：多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题(2018苏州一调)已知正实数a，b，c满足1，1，则c的取值范围是_答案：解析：由1，可得a，由1，得11.因为b12或b12，所以0，1，1c.1. (2018浙江卷)若x，y满足约束条件 ，则zx3y的最小值是_，最大值是_答案：28解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，当时，zx3y取最小值，最小值为2；当时，zx3y取最大值，最大值为8.2. (2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案： 解析：由a3b60可知a3b6，且2a2a23b.因为对于任意x，2x0恒成立，所以结合基本不等式的结论可得2a23b22.当且仅当 即 时等号成立综上，2a的最小值为.3. (2018北京卷)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_答案：3解析：作可行域，如图，则直线z2yx过点A(1，2)时，取最小值3.4. (2018江苏卷) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_答案：9解析：由题意可知，SABCSABDSBCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin 120a1sin 60c1sin 60，化简得acac， 1，因此4ac(4ac) 5529，当且仅当c2a3时取等号，则4ac的最小值是9.5. (2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1) 用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1) 由题意得，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2) 设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一簇平行直线为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得即点M的坐标为(6，3)所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2) 当x等于多少时，f(x)取得最小值？解：(1) 因为t1， t2 , 所以f(x)t1t2， 定义域为x|1x99，xN*. (4分)(2) f(x)1 000()10x(100x)( )10.(8分)因为1x99，xN*，所以0，0，所以 2236，(10分)当且仅当，即当x75时取等号(12分)故当x75时，f(x)取得最小值(14分)1. 已知变量x，y满足若zx2y2，则z的取值范围是_答案：2，29解析：由约束条件作出(x，y)的可行域如图中阴影部分所示由得C(1，1)；由得B(5，2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dminOC，dmaxOB，故z的取值范围是2，292. 已知x0，y0，且2x8yxy0.(1) 求xy的最小值；(2) 求xy的最小值解：(1) 由2x8yxy0，得1.又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时等号成立，所以xy的最小值为64.(2) 由(1)知1，则xy()(xy)1010218.当且仅当x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.3. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如