基本初等函数II(三角函数).doc

羇莄莃袇袃莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀莀袃罿肇薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆羀羆肃蕿螃袂膂蚁薅膀膂莁螁肆膁蒃薄肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芆莁虿袁芅蒄袄螇芄蚆蚇膆芃莆羂肂节蒈螅羈芁薀羁袃芀蚃螃膂芀莂薆肈荿蒅螂羄莈薇薅袀莇芆螀袆莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇莄莃袇袃莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀莀袃罿肇薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆羀羆肃蕿螃袂膂蚁薅膀膂莁螁肆膁蒃薄肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芆莁虿袁芅蒄袄螇芄蚆蚇膆芃莆羂肂节蒈螅羈芁薀羁袃芀蚃螃膂芀莂薆肈荿蒅螂羄莈薇薅袀莇芆螀袆莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇莄莃袇袃莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀莀袃罿肇薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆羀羆肃蕿螃袂膂蚁薅膀膂莁螁肆膁蒃薄肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅芆莁虿袁芅蒄袄螇芄蚆蚇膆芃莆羂肂节蒈螅羈芁薀羁袃芀蚃螃膂芀莂薆肈荿蒅螂羄莈薇薅袀莇芆螀袆莆葿蚃膅莅薁袈肁莄蚃蚁羇莄莃袇袃莃蒅虿膁蒂薈袅肇蒁蚀蚈羃蒀莀袃罿肇薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆 4.1 基本初等函数II（三角函数） 一、课程标准内容1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(a, pa的正弦、余弦、正切)，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（-，）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，. 6. 结合具体实例，了解y=Asin（wx+j）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx + j）的图象，观察A，w，j对函数图象变化的影响. 7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、教学要求11任意角、弧度基本要求 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念； 能用集合和数学符号表示终边相同的角； 能用集合和数学符号表示象限角； 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 认识弧长公式，能进行简单应用. 发展要求能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角。说明对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 12任意角的三角函数基本要求 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号； 理解终边相同的角的同一三角函数的值相等； 认识单位圆中，任意角的正弦线、余弦线和正切线； 理解同角三角函数的两个基本关系；sin2x+cos2x=1 ，能进行简单应用. 发展要求利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题.说明用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充。13 三角函数的诱导公式基本要求能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式，pa的正弦、余弦、正切，能进行简单地应用.发展要求掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法说明已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展。14三角函数的图象与性质基本要求能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象；了解三角函数的周期性；借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2p，正切函数在(-,)上的性质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.发展要求掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法；知道“五点法”画正、余弦函数；了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系. 说明教学中根据学生基础选择画函数图象的方法。15 函数y=Asin(wx+j)的图象基本要求了解y=Asin(wx+j)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数A，w，j对函数图象变化的影响；会用“五点法”画函函数y=Asin(wx+j)的图象.发展要求 掌握参数A，w，j对函数图象变化的影响的规律 掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象变换为y=Asin(wx+j)的图象的方法. 掌握函数y=Acos(wx+j)的图象与函数 y=Asin(wx+j)的图象的联系. 说明教学中提倡用计算机辅助研究函数y=Asin(wx+j)图象16三角函数模型的简单应用基本要求会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 初步学会由图象求出解析式的方法；体验实际问题抽象为数学问题的过程。体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.发展要求能运用三角函数知识分析和处理实际问题。说明教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型。 三、教学建议 1课时分配：(共16个课时)1.1.1任意角约1课时1.1.2弧度制约1课时1.2.1任意角的三角函数约2课时1.2.2同角三角三数的基本关系约1课时1.3三角函数的诱导公式约2课时1.4.1正弦函数、余弦函数的图象约1课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质约2课时1.4.3正切函数的性质与图象约1课时15函数y=Asin(wx+j)的图象约2课时1.6三角函数的简单应用约2课时复习与小结12重点难点1.1 任意角和弧度制 重点：将0至360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角. 1.2 任意角的三角函数 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系。难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角a的正弦、余弦、正切的函数值. 1.3三角函数的诱导公式重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明。难点：（a）的诱导公式的推导. 1.4三角函数的图象与性质重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）。难点：正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换。 1.5函数y=Asin(wx+j)的图象 重点:用平移变换和伸缩变换画函数y=Asin(wx+j)的图象变换过程. 难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.1.6三角函数模型的简单应用 重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点: 将某些实际问题抽象为三角函数模型.3.分析说明 任意角和弧度制,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性。在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示。要揭示引入实数度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简单应用。 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学. 任意角的三角函数的教学，可通过计算机辅助，突出三对比值与终边上点的位置无关，与角的终边有关。在此基础上，得出三种函数。教学中可运用三角函数定义，导出单位圆中它们的几何表示，既促进对三角函数定义的理解，又给出三角函数的几何意义. 但作为初次接触，学生能达到能辩认出任意角的正弦线、余弦线和正切线即可。教学中只运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系即可。三角函数的诱导公式的教学中可先创设情境，引入发现结论的条件，促成学生发现诱导公式. 为能使创设的情境与学生原有基础的距离缩小，需要复习一些已知知识，如终边相同的角的同一三角函数的值相等；单位圆与三角函数线等. 在此基础上，提出P26探究问题，给学生思考时间，而后，由学生发现，终边与角a的终边关于原点、x轴、y轴和直线y=x对称的各类角的各种表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用. 而后安排的例题与练习，要围绕熟悉公式，理解化归与转化思想来进行, 并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为0至内的角的三角函数. 公式五、六的教学可同上安排. 在本节小结中，要突出两点，一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的. 二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.三角函数的图象与性质的教学建议在通过给出一定的实例，展现正弦函数图象，使学生对这类函数图象有一个直观的了解。利用单位圆中的正弦线画出y=sinx 在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（xR）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx的图象。引导学生观察图象上的关键点，引入“五点法”画简图的方法。学习正、余弦函数性质要注意借助图象的支持。函数周期性是首次引入，需要展示三角函数具有f( x + T ) = f ( x )的特征，由此引入定义，使学生理解周期性是三角函数的重要性质。对于正切函数，教材是先讲性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反来利用图象观察性质。 函数y=Asin(wx+j)的图象的教学，可以借助计算机来模拟A,w,j的变化对函数y=Asin(wx+j)图象的影响，关键是建立y=sinx与y=Asin(wx+j)图象的联系。利用前面研究结果，通过变换由y=sinx的图象得出y=Asin(wx+j)图象. 其基本要求是掌握由jwA的变换，也可以引入其它顺序的变换，从本质上掌握这类变换。通过图象引导学生认识y=Asin(wx+j)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(wx+j)图象的方法。教学中可在A,w,j对函数y=Asin(wx+j)图象影响的基础上，介绍它们的物理意义。 三角函数模型的简单应用是通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用. 第二章平面向量一、课程标准内容1了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。2掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。3掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4了解向量的线性运算性质及其几何意义。5了解平面向量的基本定理及其意义。6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。理解用坐标表示的平面向量共线的条件。8理解平面向量数量积的含义及其物理意义。体会平面向量的数量积与向量投影的关系。9掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。10能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。11经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二、教学要求21平面向量的实际背景及基本概念基本要求理解向量、零向量、向量的模、单位向量、相等向量、平行向量、相等向量的概念。理解向量的几何表示，会用字母表示向量。了解平行向量的概念及表示法，了解相反向量、共线向量的概念。发展要求平面向量的几何意义及应用说 明22平面向量的线性运算基本要求掌握向量加、减法的定义。并理解其几何意义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量与差向量。掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算。掌握实数与向量积的定义及向量数乘的运算，并理解其几何意义。理解两个向量共线的充要条件。了解向量的线性运算性质及其几何意义。发展要求掌握向量的运算律以及向量的线性运算的几何意义。说 明向量的线性表示应控制在基本要求的范围内，不宜做太多的扩展。对于对于向量运算的交换律、数乘的结合律和分配律，只要求会用就行。对于基础较好的学生可以介绍证明方法。23平面向量的基本定理与坐标运算基本要求理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会依据向量的坐标，判断向量是否共线。发展要求掌握利用向量求分点坐标的方法；重视类比思想的培养。说 明平面向量基本定理不作严格的证明。24平面向量的数量积基本要求理解平面向量数量积及其几何意义。体会平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。掌握平面向量数量积的分配律。能运用数量积表示两个向量的夹角。 会用数量积来处理有关的长度、角度和垂直问题。发展要求掌握平面向量数量积的应用。说明24平面向量应用举例基本要求了解向量知识在实际生活中有着广泛的应用。能运用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题。发展要求合理选择向量，解决数学问题说明平面向量的应用主要在平面几何和简单的物理学这两个方面，不在其它方面拓展。三、教学建议1 课时分配211，212向量的物理背景与概念、向量的几何表示约1课时213相等向量与共线向量约1课时221向量加法及其几何意义 约1课时222向量减法及其几何意义 约1课时223向量数乘运算及其几何意义约1课时231232平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示 约1课时233234平面向量共线的坐标表示、平面向量的坐标运算 约1课时241平面向量的数量积的物理背景及其含义 约1课时242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角约1课时251平面几何中的向量方法 约1课时252向量在物理中的应用举例约1课时复习小结约1课时2 重点难点（1）平面向量的实际背景及基本概念的重难点分析。本节教学的重点是向量的概念、相等向量的概念以及向量的几何表示。难点是正确理解向量的概念和共线向量的概念。（2）本节教学的重点是向量加、减法的定义及运算法则，实数与向量的积的定义及运算性质。本节教学的难点是对向量加、减法的定义的理解。（3）本节教学的重点是平面向量的基本定理，同时也是本节的教学难点。（4）本节教学的重点是对平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。（5）重点引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题，将几何图形的性质转化为向量关系，将物理量之间的关系抽象为向量关系。难点是实际问题转化为向量问题。3教学建议（1）课时分配建议本章共分5节，共12课时，建议新课11课时，复习小节1课时。第一节平面向量的实际背景及基本概念2课时，第1课时为向量的物理背景与概念、向量几何表示，建议第1课时上到向量几何表示这节的例1以前，可补充向量表示的例题。第2课时为向量的几何表示这节中的例1、平行向量及相等向量与共线向量。建议教学中第1课时采用讨论法，第2课时采用探究法。教学中为了防止平面几何中的直线、线段的平行和共线的概念对向量的平行、共线概念的干扰，教学中建议通过具体的例子进行辨析。同时在教学中要充分利用信息技术来帮助学生理解有关的概念。第二节平面向量的线性运算3课时，第1课时为向量加法运算及其几何意义，建议上到向量加法的交换律与结合律。第2课时为向量减法运算及其几何意义，可先复习向量加法的有关内容，然后学习例2，例题是向量加法的应用，接着学习向量减法运算及其几何意义。第3课时为向量数乘运算及其几何意义。在本节的教学中与数的运算进行类比是一种重要的教学方法。教学中可采取引导发现法，通过探究引导学生自己类比数的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律。第三节平面向量的基本定理及坐标表示2课时。第1课时为平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示。第2课时为平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一，教学中可采用合作学习法，可以先让学生分析向量e1、e2可能的位置，区分出共线、不共线两种情况，然后作出两种情况下3e12e2、e12e2，在此基础上验证共线时“不能”，不共线时“总能”的结论。通过探究活动，引导学生自主得出平面向量基本定理。第四节平面向量数量积2课时。第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义；第2课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。教学中建议采用探究法，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论，这些结论可以看成是定义的一个推论，教学中应当让学生独立完成，教师作适当点评。第五节平面向量应用举例2课时。第1课时为平面几何中的向量方法；第2课时为向量在物理中的应用举例。建议教学中采用合作学习法、探究教学法，教师放手让学生活动，然后作适当的点评。（2）教材的分析平面向量的教学应着眼于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系。向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量如力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。平面向量的教学要着眼于学生理解数学运算的意义及价值，发展运算能力。向量作为代数对象，可以进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。向量的数量积运算，运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了不同类型的代数运算的特征及其功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。向量的学习，有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，为理解函数、映射、变换运算，矩阵运算等奠定了基础。平面向量的教学着眼于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想。向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。（3）教学中应注意的几个问题平面向量的教学应注意突出向量的物理背景和几何背景，教与学的重点应落实在向量的代数性质及其几何意义，要关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。第三章 三角恒等变换一、课程标准内容1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出）。二、教学要求3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式基本要求了解学习两角和与差三角函数公式的必要性。理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路。能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式。能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。发展要求理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。能对公式进行简单的逆用。说明控制好拆分角度的难度。题型的变化不宜过多。3.2 简单的三角恒等变换基本要求能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。发展要求了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。理解三角变换的基本特点和基本功能。了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。说明积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。三、教学建议1课时分配3.1.1两角差的余弦公约1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式约1课时3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式约1课时小结复习约1课时3.2简单的三角恒等变换约3课时小结复习约1课时2重点难点3.1节重点是通过探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。难点是两角差的余弦公式的探索和证明。3.2节重点是掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点。难点是公式的灵活应用。3分析说明 本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时它也是难点。为了突出重点、突破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，的正弦、余弦值的等量关系。前一章中已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中能够体现它的作用。由于学生刚接触向量，他们还不太习惯用向量工具解决问题，因此这里需要教师作引导。教学时应当注意下面四个要点：在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备；探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如，在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的，是的二倍 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想”“这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和