2018年中考数学真题分类汇编第二期专题31直线与圆的位置关系试题含解析.docx

点直线与圆的位置关系 一.选择题1.（2018江苏徐州2分）O1和O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则O1和O2的位置关系是（）A内含B内切C相交D外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断O1与O2的位置关系【解答】解：O1和O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则52=3，O1和O2内切故选：B【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P：外离PR+r；外切P=R+r；相交RrPR+r；内切P=Rr；内含PRr2.（2018上海4分）如图，已知POQ=30，点A.B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的A与直线OP相切，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是（）A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认B与A相切时，OB的长，可得结论【解答】解：设A与直线OP相切时切点为D，连接AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B与A相内切时，设切点为C，如图1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A与B相外切时，设切点为E，如图2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是：5OB9，故选：A【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围3. （2018湖州4分）如图，已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D，连结OB，OD若ABC=40，则BOD的度数是70【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分ABC，ODBC，则OBD=ABC=20，然后利用互余计算BOD的度数【解答】解：ABC的内切圆O与BC边相切于点D，OB平分ABC，ODBC，OBD=ABC=40=20，BOD=90OBD=70故答案为70【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角4.（2018嘉兴3分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内. B. 点在圆上. C. 点在圆心上. D. 点在圆上或圆内.【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.5.（2018福建A卷4分）如图，AB是O的直径，BC与O相切于点B，AC交O于点D，若ACB=50，则BOD等于（）A40B50C60D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC是O的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键6.（2018福建B卷4分）如图，AB是O的直径，BC与O相切于点B，AC交O于点D，若ACB=50，则BOD等于（）A40B50C60D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC是O的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键7. （2018湖南湘西州4.00分）如图，直线AB与O相切于点A，AC.CD是O的两条弦，且CDAB，若O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A10B8C4D4【分析】由AB是圆的切线知AOAB，结合CDAB知AOCD，从而得出CE=4，RtCOE中求得OE=3及AE=8，在RtACE中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线AB与O相切于点A，OAAB，又CDAB，AOCD，记垂足为E，CD=8，CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在RtOCE中，OE=3，AE=AO+OE=8，则AC=4，故选：D【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理8.（2018上海4分）如图，已知POQ=30，点A.B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的A与直线OP相切，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是（）A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认B与A相切时，OB的长，可得结论【解答】解：设A与直线OP相切时切点为D，连接AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B与A相内切时，设切点为C，如图1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A与B相外切时，设切点为E，如图2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是：5OB9，故选：A【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围二.填空题1.（2018江苏徐州3分）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D若C=18，则CDA=126度【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA计算求解【解答】解：连接OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD，ODA=A=COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=126【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解2.（2018内蒙古包头市3分）如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE若D=40，则BEC=115度【分析】连接OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接OC，DC切O于C，DCO=90，D=40，COB=D+DCO=130，的度数是130，的度数是360130=230，BEC=115，故答案为：115【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出DCO的度数是解此题的关键3. （2018嘉兴4分.）如图,量角器的度刻度线为.将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点,直尺另一边交量角器于点，量得,点在量角器上的读数为.则该直尺的宽度为_【答案】【解析】【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角即可.【解答】连接OC,OD,OC与AD交于点E， 直尺的宽度： 故答案为：【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.4. （2018广西玉林3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是10cm 【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【解答】解：如图， 记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，OCAB，BD= AB，由图知，AB=164=12cm，CD=2cm，BD=6，设圆的半径为r，则OD=r2，OB=r，在RtBOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，r2=36+（r2）2，r=10cm，故答案为104. （2018黑龙江大庆3分）在ABC中，C=90，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为2【分析】先利用勾股定理计算出BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径=（A.b为直角边，c为斜边）进行计算【解答】解：C=90，AB=10，AC=6，BC=8，这个三角形的内切圆半径=2故答案为25. （2018广东3分）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（结果保留）【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OEBC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECDS扇形EOD计算由弧DE.线段EC.CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接OE，如图，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，OD=2，OEBC，易得四边形OECD为正方形，由弧DE.线段EC.CD所围成的面积=S正方形OECDS扇形EOD=22=4，阴影部分的面积=24（4）=故答案为【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式6. （2018湖南长沙3.00分）如图，点A，B，D在O上，A=20，BC是O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB=50度【分析】由圆周角定理易求BOC的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC是O的切线，B为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：50【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键三.解答题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市8分）如图，在O中，AB为直径，AC为弦过BC延长线上一点G，作GDAO于点D，交AC于点E，交O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM（1）判断CM与O的位置关系，并说明理由；（2）若ECF=2A，CM=6，CF=4，求MF的长【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到ACB=90，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以G=1，接着证明1+2=90，从而得到OCM=90，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为O的切线；（2）先证明G=A，再证明EMC=4，则可判定EFCECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算MEEF即可【解答】解：（1）CM与O相切理由如下：连接OC，如图，GDAO于点D，G+GBD=90，AB为直径，ACB=90，M点为GE的中点，MC=MG=ME，G=1，OB=OC，B=2，1+2=90，OCM=90，OCCM，CM为O的切线；（2）1+3+4=90，5+3+4=90，1=5，而1=G，5=A，G=A，4=2A，4=2G，而EMC=G+1=2G，EMC=4，而FEC=CEM，EFCECM，=，即=，CE=4，EF=，MF=MEEF=6=【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr也考查了圆周角定理2. （2018湖北随州8分）如图，AB是O的直径，点C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点O，分别交AC.CN于D.M两点（1）求证：MD=MC；（2）若O的半径为5，AC=4，求MC的长【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接OC，CN为O的切线，OCCM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA，ACM=ODA=CDM，MD=MC；（2）由题意可知AB=52=10，AC=4，AB是O的直径，ACB=90，BC=，AOD=ACB，A=A，AODACB，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在RtOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题3. （2018湖北襄阳8分）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，E为O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OE推知CD为O的切线，即可证明DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：连接OE.OCOB=OE，OBE=OEBBC=EC，CBE=CEB，OBC=OECBC为O的切线，OEC=OBC=90；OE为半径，CD为O的切线，AD切O于点A，DA=DE；（2）如图，过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4BC=2，BCAD=2，BC=3在直角OBC中，tanBOE=，BOC=60在OEC与OBC中，OECOBC（SSS），BOE=2BOC=120S阴影部分=S四边形BCEOS扇形OBE=2BCOB=93【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算4. （2018湖南郴州8分）已知BC是O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是O的弦，AEC=30（1）求证：直线AD是O的切线；（2）若AEBC，垂足为M，O的半径为4，求AE的长【分析】（1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论【解答】解：（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点A在O上，直线AD是O的切线；（2）连接OA，AEC=30，AOC=60，BCAE于M，AE=2AM，OMA=90，在RtAOM中，AM=OAsinAOM=4sin60=2，AE=2AM=4【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出AOC=60是解本题的关键5. （2018湖南怀化12分）已知：如图，AB是O的直径，AB=4，点F，C是O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分FAB，BOC=60，过点C作CDAF交AF的延长线于点D，垂足为点D（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；（2）求证：CD是O的切线【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知ADOC，由于CDAF，所以CDOC，所以CD是O的切线【解答】解：（1）AB=4，OB=2COB=60，S扇形OBC=（2）AC平分FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC在圆上，CD是O的切线【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型6.（2018江苏宿迁10分）如图，AB.AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D，过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是O的切线；（2）若ABC=60,AB=10,求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5. 【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90，即OCPC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OCPE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可试题解析：（1）、连接OC，ODAC，OD经过圆心O，AD=CD，PA=PC，在OAP和OCP中，OAPOCP（SSS），OCP=OAPPA是O的切线，OAP=90OCP=90，即OCPCPC是O的切线（2）、AB是直径，ACB=90，CAB=30，COF=60，PC是O的切线，AB=10，OCPF，OC=OB=AB=5，OF=10，BF=OFOB=5【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形7.（2018江苏淮安10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中点（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为2，B=50，AC=4.8，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OE.OD，如图，根据切线的性质得OAC=90，再证明AOEDOE得到ODE=OAE=90，然后根据切线的判定定理得到DE为O的切线；（2）先计算出AOD=2B=100，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积【解答】解：（1）直线DE与O相切理由如下：连接OE.OD，如图，AC是O的切线，ABAC，OAC=90，点E是AC的中点，O点为AB的中点，OEBC，1=B，2=3，OB=OD，B=3，1=2，在AOE和DOE中，AOEDOE，ODE=OAE=90，OAAE，DE为O的切线；（2）点E是AC的中点，AE=AC=2.4，AOD=2B=250=100，图中阴影部分的面积=222.4=4.8【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和扇形的面积公式8.（2018江苏苏州10分）如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E延长DA交O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：CEO是等腰直角三角形【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据AAS证明CDACEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180，则3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接AC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，DCO=D=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90，在CDA和CEA中，CDACEA（AAS），CD=CE；（2）证法一：连接BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB是O的直径，ACB=90，CEAB，ACE=B，B=F，F=ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F=DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用9.（2018内蒙古包头市10分）如图，在RtACB中，ACB=90，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交A于点E，连接CE，CD，F是A上一点，点F与点C位于BE两侧，且FAB=ABC，连接BF（1）求证：BCD=BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sinABF的值【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDCBCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出AFMBAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论【解答】解：（1）ACB=90，BCD+ACD=90，DE是A的直径，DCE=90，BEC+CDE=90，AD=AC，CDE=ACD，BCD=BEC，（2）BCD=BEC，EBC=EBC，BDCBCE，BC=2，BD=1，BE=4，EC=2CD，DE=BEBD=3，在RtDCE中，DE2=CD2+CE2=9，CD=，CE=，过点F作FMAB于M，FAB=ABC，FMA=ACB=90，AFMBAC，DE=3，AD=AF=AC=，AB=，FM=，过点F作FNBC于N，FNC=90，FAB=ABC，FABC，FAC=ACB=90，四边形FNCA是矩形，FN=AC=，NC=AF=，BN=，在RtFBN中，BF=，在RtFBM中，sinABF=【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键10.（2018山东烟台市10分）如图，已知D，E分别为ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在D上，点B，D在E上F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M（1）若EBD为，请将CAD用含的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当CAD为多少度时，直线EF为D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD，DCE=DEC=2，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根据切线的性质知：DEF=90，所以CED+MEB=90，同理根据三角形内角和定理可得CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；根据（1）的结论计算MBE=30，证明CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EFEM=1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论【解答】解：（1）连接CD.DE，E中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2，D中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2，ACB中，CAD+ACD+DCE+EBD=180，CAD=；（2）设MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，当EF为D的切线时，DEF=90，CED+MEB=90，CED=DCE=90x，ACB中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180，2CAD=18090=90，CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；由（1）得：CAD=；MBE=30，CED=2MBE=60，CD=DE，CDE是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD=，RtDEM中，EDM=30，DE=，EM=1，MF=EFEM=1，ACB中，NCB=45+30=75，CNE中，CEN=BEF=30，CNE=75，CNE=NCB=75，EN=CE=，=2+【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型11.（2018山东济宁市8分）如图，在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）已知O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长【分析】（1）连接OE，由OB=OE知OBE=OEB.由BE平分ABC知OBE=CBE，据此得OEB=CBE，从而得出OEBC，进一步即可得证；（2）证BDEBEC得=，据此可求得BC的长度，再证AOEABC得=，据此可得AD的长【解答】解：（1）如图，连接OE，OB=OE，OBE=OEB，BE平分ABC，OBE=CBE，OEB=CBE，OEBC，又C=90，AEO=90，即OEAC，AC为O的切线；（2）EDBE，BED=C=90，又DBE=EBC，BDEBEC，=，即=，BC=；AEO=C=90，A=A，AOEABC，=，即=，解得：AD=【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质12.（2018山东东营市8分）如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C.CAD=CDB可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD.AC=3，即可求出CD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切线，OD是O的半径，ODB+BDC=90AB是O的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出CAD=BDC；（2）利用相似三角形的性质找出13. （2018达州8分）已知：如图，以等边ABC的边BC为直径作O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DFAC交AC于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若等边ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积【分析】（1）连接CD.OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为ABC的中位线得DOAC，根据DFAC可得；（2）连接OE.作OGAC，求出EF、DF的长及DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDOS扇形DOE计算可得【解答】解：（1）如图，连接CD.OD，BC是O的直径，CDB=90，即CDAB，又ABC是等边三角形，AD=BD，BO=CO，DO是ABC的中位线，ODAC，DFAC，DFOD，DF是O的切线；（2）连接OE.作OGAC于点G，OGF=DFG=ODF=90，四边形OGFD是矩形，FG=OD=4，OC=OE=OD=OB，且COE=B=60，OBD和OCE均为等边三角形，BOD=COE=60，CE=OC=4，EG=CE=2.DF=OG=OCsin60=2，DOE=60，EF=FGEG=2，则阴影部分面积为S梯形EFDOS扇形DOE=（2+4）2=6【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90即可注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长14. （2018遂宁10分）如图，过O外一点P作O的切线PA切O于点A，连接PO并延长，与O交于C.D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC.CM（1）求证：CM2=MNMA；（2）若P=30，PC=2，求CM的长【分析】（1）由=知CAM=DCM，根据CMA=NMC证AMCCMN即可得；（2）连接OA.DM，由RtPAO中P=30知OA=PO=（PC+CO），据此求得OA=OC=2，再证CMD是等腰直角三角形得CM的长【解答】解：（1）O中，M点是半圆CD的中点，=，CAM=DCM，又CMA=NMC，AMCCMN，=，即CM2=MNMA；（2）连接OA.DM，PA是O的切线，PAO=90，又P=30，OA=PO=（PC+CO），设O的半径为r，PC=2，r=（2+r），解得：r=2，又CD是直径，CMD=90，CM=DM，CMD是等腰直角三角形，在RtCMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，则CM2=8，CM=2【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点15. （2018资阳9分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，O是PAB的外接圆，过点P作PDAB交AC于点D（1）求证：PD是O的切线；（2）若BC=8，tanABC=，求O的半径【分析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OPAB，根据平行线可得：OPPD，所以PD是O的切线；（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG=，BG=2x，利用勾股定理计算x=，设AC=a，则AB=a，AG=a，在RtACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设O的半径为r，同理列方程可得r的值【解答】（1）证明：如图1，连接OP，PA=PB，OPAB，PDAB，OPPD，PD是O的切线；（2）如图2，过C作CGBA，交BA的延长线于G，RtBCG中，tanABC=，设CG=，BG=2x，BC=x，BC=8，即x=8，x=，CG=x=，BG=2x=，设AC=a，则AB=a，AG=a，在RtACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，a=2，AB=2，BE=，RtBEP中，同理可得：PE=，设O的半径为r，则OB=r，OE=r，由勾股定理得：，r=，答：O的半径是【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键15. （2018乌鲁木齐10分）如图，AG是HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AC=2CD，设O的半径为r，求BD的长度【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODAC，证明ODCB，可得结论；（2）在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明ACDADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论【解答】（1）证明：连接OD，AG是HAF的平分线，CAD=BAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC，ACD=90，ODB=ACD=90，即ODCB，D在O上，直线BC是O的切线；（4分）（2）解：在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，AE是O的直径，ADE=90，由CAD=BAD，ACD=ADE=90，ACDADE，即，a=，由（1）知：ODAC，即，a=，解得BD=r（10分）【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键16. （2018乌鲁木齐10分）如图，AG是HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AC=2CD，设O的半径为r，求BD的长度【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODAC，证明ODCB，可得结论；（2）在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明ACDADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论【解答】（1）证明：连接OD，AG是HAF的平分线，CAD=BAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC，ACD=90，ODB=ACD=90，即ODCB，D在O上，直线BC是O的切线；（4分）（2）解：在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，AE是O的直径，ADE=90，由CAD=BAD，ACD=ADE=90，ACDADE，即，a=，由（1）知：ODAC，即，a=，解得BD=r（10分）【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键18. （2018金华、丽水8分） OABDCE如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知CAD=B.（1）求证：AD是O的切线.（2）若BC=8，tanB=,求O的半径.【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证得；此题即证ADO=90；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，求出相关结论，由BC=8，tanB= 不难得出AC，AB的长度；而tan1=tanB= ，同样可求出CD，AD的长度；设半径为r，在RtADO中，由勾股定理构造方程解出半径r即可。19. （2018贵州安顺12分） 如图，在中，为的中点，与半圆相切于点. （1）求证：是半圆所在圆的切线；（2）若，求半圆所在圆的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）半圆所在圆的半径是.【解析】分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得OA，根据角平分线的性质，可得OE，根据切线的判定，可得答案；（2）根据余弦，可得OB的长，根据勾股定理，可得OA的长，根据三角形的面积，可得OE的长详解：（1）如图1，作于，连接、，为的中点，.与半圆相切于点，经过圆半径的外端，是半圆所在圆的切线；（2），是的中点，由，得.由勾股定理，得.由三角形的面积，得，半圆所在圆的半径是.点睛：本题考查了切线的判定与性质，利用切线的判定是解题关键，利用面积相等得出关于OE的长是解题关键20. （2018广西玉林9分）如图，在ABC中，以AB为直径作O交BC于点D，DAC=B（1）求证：AC是O的切线；（2）点E是AB上一点，若BCE=B，tanB=，O的半径是4，求EC的长【分析】（1）欲证明AC是切线，只要证明ABAC即可；（2）设EC=EB=x，在RtAEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：AB是直径，ADB=90，B+BAD=90，DAC=B，DAC+BAD=90，BAC=90，BAAC，AC是O的切线（2）解：BCE=B，EC=EB，设EC=EB=x，在RtABC中，tanB=，AB=8，AC=4，在RtAEC中，EC2=AE2+AC2，x2=（8x）2+42，解得x=5，CE=521. （2018广西南宁10分）如图，ABC内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD（1）求证：PG与O相切；（2）若=，求的值；（3）在（2）的条件下，若O的半径为8，PD=OD，求OE的长【分析】（1）要证PG与O相切只需证明OBG=90，由A与BDC是同弧所对圆周角且BDC=DBO可得CBG=DBO，结合DBO+OBC=90即可得证；（2）求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OMAC.连接OA，证BEFOAM得=，由AM=AC.OA=OC知=，结合=即可得；（3）RtDBC中求