数值计算方法课件-CH5常微分方程数值解法—5.2-Runge-Kutta法.ppt

第五章 常微分方程 数值解法,数值计算方法,5.2 Runge-Kutta法,2,微分中值定理：设函数 区间 上满足： 1. 在闭区间 上连续； 2. 在开区间 上可导； 那么在开区间 内（至少）存在一点 ，使得,5.2 Runge-Kutta法,高精度的单步法,对于常微分方程的初值问题,的解,一、Runge-Kutta法的基本思想,3,即,引入记号：,4,1、一阶Runge-Kutta法,可证明Euler公式的局部截断误差为：,故Euler公式具有一阶精度,一阶Runge-Kutta法,简称一阶R-K法,5,2、二阶Runge-Kutta方法,二阶Runge-Kutta法,简称二阶R-K法,6,7,未知,如果在 上增加一点,且以 y(x) 在 和 xn 处斜率K1、K2 和 K3 的加权平均作为 y(x) 在 上的平均斜率:,其中, 和 待定,3、三阶Runge-Kutta方法,8,令,令,如果以 xn-1 处的斜率 K1 预测 ,即,同样以 处的斜率 预测,9,取,则Simpson求解公式化为,参照 Simpson 求解公式,三阶Runge-Kutta法,10,分别作 在 处的 Taylor 展开式：,11,12,-(a),再作 在 处的 Taylor 展开式：,-(b),比较(a)(b)两式,可知,因而 三阶R-K法具有 3 阶精度,13,类似于三阶R-K法,还可构造四阶(经典)Runge-Kutta 方法:,因而,四阶R-K法具有4阶精度,可证明,14,几点说明：,1. 采用不同的方法对Simpson公式： 进行显化，可以得到不同阶的R-K法(如上述讲的三阶R-K法，四阶R-K法).此外，还可以得到阶相同而系数不同的求解公式。,15,2. 从二阶、三阶、四阶Runge-Kutta法的公式可见：二阶R-K法每一步需要计算两个函数值 ；而三阶R-K法每一步需要计算三个函数值 ，四阶R-K法每一步需要计算四个函数值 ，每一步计算的函数值越多，由此而组成的计算公式的精度就越高，而且多计算一个函数值，恰好公式的精度提高一阶。但该结论对四阶以上的R-K法不一定成立，即多计算一个函数值，公式的精度不一定能提高一阶，有时甚至不能提高。,16,3. R-K法的推导是基于泰勒级数展开的方法,因而它要求所求的解具有较好的光滑性,即y(x)具有高阶导数,如果解y(x)的光滑性差,有可能使用高阶R-K法的精度还没有低阶R-K法好,实际计算时,应根据问题的具体特点选择合适的算法.,17,4.步长的选择：在进行常微分方程的初值问题求解时，步长h的适当选择是很重要的.从每跨一步的局部截断误差项 来看,步长h越小, 越小,解的理论精度越高.但是,随着步长的减小，在一定的求解区间内，所要走的步数就越多，这样会引起计算量的增加，并且会引起舍入误差的大量积累与传播，从而影响解的精度.因此，微分方程的数值解法也有选择步长的问题.计算中步长h的通常取法为：开始时不宜过小，如果因此而求得的计算解的精度不够，可采取步长逐步折半的办法来解决.将这种方法称为变步长法.,18,例（P180）,