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第八章 不定积分,8.1 不定积分的概念与基本积分公式,8.2 换元积分法与分部积分法,8.3 几类特殊函数的不定积分,8.1 不定积分的概念和基本积分公式,一 原函数和不定积分 二 基本积分公式表 三 不定积分的线性运算法则,例,定义1：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,定理8.1,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,定理8.2,根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则,其中 C 是任意常数，称为积分常数。,二、不定积分,定义2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分，,不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。,例,例,例,解：,求微分与求积分的互逆关系,函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。,函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。,三、不定积分的几何意义,例 求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。,因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31C，C2。 于是所求曲线方程为 yx22。,(1, 3) ,所以y = f(x) x2C。,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,四、 基本积分公式,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,例 求积分,解,根据积分公式（2）,例,例,例,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,五 、 不定积分的性质,定理3 若函数,与,在区间,存在原函数，,为两个任意常数，则,也存在原函数，且,上都,例1, 则,例2,例3,例4,例5,例,例,例,例,例,例,例,例,例,例 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,作业： P181：1,2,3,4,5(1) (16).,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不
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