高中数学第二章空间向量与立体几何空间向量在空间问题中的综合应用（习题课）课后训练案巩固提升.docx

习题课-空间向量在空间问题中的综合应用课后训练案巩固提升1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到ABC重心G的距离为 ()A.2B.C.1D.解析:以P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),于是G,故|=.答案:D2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D;A1M平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:因为,所以,所以A1MD1P,由线面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1,故正确.答案:C3.如图,在四面体A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为()A.B.C.2D.解析:因为,|=|=1=|,且=0.又=()2,所以=3,即AE的长为.答案:B4.已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2解析:因为,所以|2=|2=|2+|2+|2+2()=22+22+22+2(0+0+0)=12,故|=2.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:()2=3;()=0;的夹角为60;正方体的体积为|.其中正确命题的序号是.解析:()2=()2+()2+()2+2()=3()2,故正确;设正方体棱长为a,则()=()()=a2-0+0-0+0-a2=0,故正确;的夹角应为120,故错误;正方体的体积应为|,故错误.答案:6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和等于.解析:以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),=(x-1,0,1).又F(0,0,1-y),B(1,1,1),=(1,1,y).ABB1E,若B1E平面ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:17.如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且BAE=120,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.(1)求证:直线DE与平面FGH平行;(2)若点P在直线GF上,且平面ABP与平面BDP夹角的大小为,试确定点P的位置.(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.G,H分别是AE,BC的中点,MHAB,GFAB,M平面FGH.又MGDE,且DE平面FGH,MG平面FGH,DE平面FGH.(2)解在平面ABE内,过点A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP平面ABCD.以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).则=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).设=(0,2,0),则=(,2-5,0).设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),则取y=,得z=2,x=5-2,故n1=(5-2,2).又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),因此cos=,解得=1或=4.故=4(P(,1,0)或P(,7,0).8.如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BCDE,DCB=45,O是BC中点,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=2.(1)证明:AO平面BCD;(2)求平面ACD与平面BCD夹角的正切值.(1)证明易得OC=3,连接OD,OE,在OCD中,由余弦定理可得OD=,因为AD=2,所以AO2+OD2=AD2,所以AOOD.同理可证AOOE,又ODOE=O,所以AO平面BCD.(2)解以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),则A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),由(1)知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos=,故平面ACD与平面BCD夹角的正切值为.9.导学号90074050如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD.(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长.在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).在平面ABCD内,作CEAB交AD于点E,则CEAD.在RtCED中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n,n,得取x=t,得平面PCD的一个法向量为n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30,得cos 60=,即,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t0),所以AB=.(方法一)如图,假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(0m4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由|=|,得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;由|=|,得(4-t-m)2=m2+t2.由消去t,化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一点,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而在线段AD上不存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.(方法二)如图,假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由GC=GD,得GCD=GDC=45,从而CGD=9