山东省济宁市微山县高中数学集合与函数概念1.2.2函数的表示法学案含解析.docx

1.2.2函数的表示 1常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系例如：毛笔每支2元，可用于购买的钱有8元，设购买的支数为x(支)，对应的购买费用为y(元)，用三种方式表示y关于x的函数关系式解析法：y2x(x=0,1,2,3,4)列表法：x01234y02468图象法：说明：不是所有函数都能有明确的规律，此时常常用表格或图象表示例如：2011年7月19日9：3015：00春兰股份的价格走势图如下，能用解析式表示吗？（不能）2分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象3映射1）映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象2）一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集 题型一函数的三种表示法例1已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式tax，当x2时，t100；当x14时，t28，且参加此项任务的人数不能超过20人(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况解析：(1)由题设条件知：当x2时，t100，当x14时，t28得方程组解此方程组得所以tx，又因为x20，x为正整数，所以函数的定义域是x|0x20，xN*(2)x1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.61112131415161718192028.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列如图所示(4)自变量x共取120之间的20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果可以再设想，假设工作的人数没有限制，x再增大时，比如，x50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低点评：在实际研究一个函数时，通常是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式列表描点，画出图象，然后再总结出函数的性质三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主巩 固客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是()解析：由题意知，在前1小时内客车以60 km/h的速度匀速行驶，则60，在1小时1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B答案：B题型二求函数解析式例2已知f(x1)x22x7.(1)求f(2)和f(a)的值；(2)求f(x)和f(x1)的解析式解析：(1)f(2)f(31)923710；f(a)f(a1)1)(a1)22(a1)7a26.(2)方法一(配凑法)f(x)f(x1)1)(x1)22(x1)7x26，(或f(x1)(x1)26)，f(x)x26.f(x1)(x1)26x22x7.方法二(换元法)设tx1，即xt1，f(t)(t1)22(t1)7t26，故f(x)x26.f(x1)(x1)26x22x7.点评：已知类型为f(g(x)h(x)的函数，求f(x)的解析式时，常常使用配凑法和换元法(在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而问题得以解决)巩 固已知f(x1)x23x2.(1)求f(2)和f(a)的值；(2)求f(x)和f(x1)的解析式解析：(1)f(x1)x23x2，f(2)f(11)123120，f(a)f(a1)1)(a1)23(a1)2a25a6.(2)f(x)f(x1)1)(x1)23(x1)2x25x6，即f(x)x25x6，f(x1)f(x2)1)(x2)23(x2)2x27x12，即f(x1)x27x12.例3求下列函数的解析式(1)已知f(4)x8，求f(x2)；(2)已知一次函数f(x)满足ff(x)4x1，求f(x)解析：(1)方法一(配凑法)f(4)x8(4)216，f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2，或x2)方法二(换元法)设4t4，则t4，x(t4)2，f(t)(t4)28(t4)t216.f(x)x216(x4)f(x2)x416(x2或x2)(2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x1.，或.f(x)2x，或f(x)2x1.点评：对于较复杂的这一类问题，换元法比配凑法更有优势，即设g(x)t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的表达式在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)axb(a0)巩 固(1)已知f(2x1)x21，求f(x)的解析式(2)已知2f(x)f(x)3x2，求f(x)的解析式解析：(1)设t2x1，则x，f(t)21.f(x)21.(2)将x换成x，则原式2f(x)f(x)3x2变为：2f(x)f(x)3x2由两式解得f(x)3x.题型三分段函数的求值例4已知函数f(x)(1)求ff()的值；(2)若f(a)3，求a的值解析： (1)12，f()()23.而32，ff()f(3)236.(2)当a1时，f(a)a2，又f(a)3，a1(舍去)；当1aa，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，f(a)a1，解a1a，得a2与a0矛盾，当aa，得a1.a1.题型四分段函数的图象及应用例5已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域解析： (1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.f(x).(2)函数f(x)的图象如图所示，(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)点评：对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分巩 固已知函数f(x)，在平面直角坐标系中作出yf(x)的图象，并写出值域解析：如图所示，函数yf(x)的图象是由f1(x)2(x)21，x0，)的图象(抛物线的一段)及f2(x)2x2，x，1的图象(一条线段)组成的，其值域为0,1题型五映射例6在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A0,1,2,3，B1,2,3,4，对应法则f：“加1”；(2)A(0，)，BR，对应法则f：“求平方根”；(3)AN，BN，对应法则f：“3倍”；(4)AR，BR，对应法则f：“求绝对值”；(5)AR，BR，对应法则f：“求倒数”解析：(1)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故f：AB也是一一映射(2)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射，故不是一一映射(3)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5在A中没有原象与之对应，故f：AB不是一一映射(4)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故法则f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f：AB不是一一映射(5)当x0A，无意义，故法则f不是从A到B的映射点评：判断对应f：AB是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同巩 固下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)AR，BR，f：xy；(2)A0,1,2,9，B0,1,4,9,64，f：ab(a1)2；(3)A0，)，BR，f：xy2x；(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆解析：(1)当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，是映射，也是函数(3)当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集例7已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1)(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象解析：(1)当x1，y2时，3x2y10,4x3y19.故A中元素(1,2)的象为(0,9)(2)令， 得，故B中元素(1,2)的原象是.点评：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则巩 固已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1，x21)，求A中元素在B中的象和B中元素在A中的原象解析：将x代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(1,3)由得x.所以在B中的象为(1,3)，在A中对应的原象为.例8已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)求满足条件的映射的个数解析：(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有一个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(2)20,2(2)0.因此满足条件中的映射共有7个点评：求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论巩 固若将本例中的条件改为“B1,0,1，f(a)f(b)f(c)”，这样的映射有几个？解析：由于f(a)、f(b)、f(c)的取值属于1,0,1，故f(a)f(b)f(c)时，f(a)，f(b)，f(c)取值的情况如表所示.f(a)f(b)f(c)111111111111100010000100010由表可知这样的映射有9个A组1下列表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y11B.x奇数0偶数y101C.x有理数无理数y11D.x自然数整数有理数y101解析：A中，当x0时，y1；B中0是偶数，当x0时，y0或y1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x1N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确答案：C2设函数f(x)则f的值为()A. B C. D18答案：A3已知f(x)，g(x)，则当x0时，fg(x)为()Ax Bx2 Cx Dx2答案：B4函数f(x)的值域是()AR B(0，)C(0,2)(2，) D0,23，)答案：D5设f：AB是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是()AA中的每一个元素在B中必有象BB中每一个元素在A中必有原象CA中的一个元素在B中可以有多个象DA中不同元素的象必不同答案：A6给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：A你们班的同学，B体重，f：每个同学对应自己的体重；M1,2,3,4，N2,4,6,8，f：n2m，nN，mM；MR，Nx|x0，f：yx4；A中国，日本，美国，英国，B北京，东京，华盛顿，伦敦，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应上述四个对应中是映射的有_，是函数的有_，是一一映射的有_()A3个2个1个 B3个3个2个C4个2个2个 D2个2个1个答案：CB组1y与x成反比，且当x2时，y1，则y关于x的函数关系式为()Ay ByCy Dy解析：y，1，k2，y.答案：C2若f(x1)2x3，则f(3)的大小为()A9 B7 C11 D12解析：取x2，则由f(x1)2x3，得f(3)7.答案：B3设f(x)则fff(1)()A1 B0 C D1解析：fff(1)ff0f()1.答案：A4(2013大纲卷)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.答案：B5已知函数f(x)若f(x)10，则x_.解析：若x0，则f(x)x2110，即x3.若x0，则f(x)2x10，即x5与x0矛盾，故舍去，故x3.答案：36下列各个对应不是映射的是()答案：AC组1函数yx|x|的图象大致是()答案：A8已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)132填写下列gf(x)的表格，其三个数依次为()x123gf(x)A.3,1,2 B2,1,3C1,2,3 D3,2,1答案：D3已知函数f(x)(a，b为常数)，且方程f(x)x120有两个实根为x13，x24，求函数f(x)的解析式解析