等比数列求和课堂实录.doc

前言：这是06年陈孟伟老师在教材分析时提供的一份案例。老师们可以参考。希望老师们能将教学中的得意之处用叙事的方式记录下来，共其他教师借鉴，这是目前教学研究中常用的方式，也是非常有意义的事情，其中的内容完全可以作为教学科研的重要铸成部分。 -闻岩数列教学建议北京八中 陈孟伟一节课的教学设计：等比数列前n项和课堂实录(浙江省优质课一等奖)师：同学们，你们喜欢动漫吗？生：(异口同声)喜欢！师：那我们就来看一段最新版的西游记后传。(漫画演示)话说猪八戒自西天取经回到高老庄，从高员外手里接下高老庄集团，摇身变成了CEO。可好景不长，因资金周转不灵而陷入窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件作为回报，从投资的第一天起必须返给我l元，第二天返还2元，第三天返还4元即后一天返还数为前一天的2倍。”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出l元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元哇，发财了！”他越想越美。再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”师：各位同学，假如你是高老庄集团企划部的高参，帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？（学生学习热情高涨，思维异常活跃）生：八戒能吸纳3000万元，还给悟空的钱是1,2,，的和。师：这些数有什么特征？生：成等比数列。师：也就是说要还给悟空的钱数是这个等比数列的前30项和。今天我们就来研究一下等比数列的前n项和。点评依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思。师：这个数列的前30项和怎么求？请同学们思考。(学生自主探究，教师巡回指导)生1：(在黑板上板书并说明)，等式两边同时乘以2，得，,再一，得。这样做的好处是等式两边同乘以2后，可以错位相减抵消很多项。师：这位同学说得很好，乘以2之后会产生很多相同的项，减一减就可以抵消很多项。我们称这种方法为错位相减法。(教师板书)师：大家看一下最后的结果,如果我们用计算器把具体值算出来的话，大约是 10.74亿，比悟空给八戒的投资多很多，所以这种投资方式千万不能接受。刚才我们是用错位相减法得到了一个首项为1，公比为2的等比数列的前30项和，那对于公比为的等比数列，它的前项和怎么求？请同学们用错位相减法或其他方法在式子和中任选一个进行研究，可以相互讨论。一会儿请同学们白己展示研究成果。生2：(实物投影展示)我的方法就是刚才所运用的错位相减法。，一，得。所以，。生3：(实物投影展示)，即，一，得，所以，。(教师在学生投影的同时板书的两个式子)师：刚才这两位同学用同一种方法得到了的不同结果，那这两个式子等价吗？为什么？生4：等价。因为。师：很好，我们通过通项公式把两者联系起来，它们的确等价。大家还有不同意见吗？(利用学生实物投影说明推导过程中要分和两种情况进行讨论，提醒学生注意思维的填密性)生5：我的方法是：。整理，得。(教师利用学生实物投影说明推导过程中还需要注意分母不等于0。)生6：我的方法与他们都不同：，所以，。师：刚才，同学们用许多方法得出等比数列前项和公式，其中有些方法的技巧性较强。这节课我们着重要掌握错位相减法，运用这种方法还可求某些类型数列的前项和。点评从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。师：在第一个公式中涉及哪些量？生：,。师：第二个公式呢？生：,。师：如果已知、或者已知、就可以求出。现给出条件，请同学们口答出。在公比为的等比数列中(1)若，则_；(2)若，则_；师：再请大家判断是非(幻灯片显示)：(1)生7：错！公比是。(2)生8：应该是。师：公式当中，前项对应次，即“项数决定次数”。(3)若且，则生9：因为分母不等于O，所以这里的也不能等于。师：很好，同学们在公式运用时都注意到了两点：公比是不是等于1，项数决定着次数。下面我们继续研究公式的具体运用。例1 已知是等比数列，请完成下表题号1822783(着重强调公式的选择，用幻灯显示结果)点评如此简洁明快，可谓水到果成。师：由表格可知这五个量中知道其中三个量可求出另两个量，也就是“知三求二”，这体现了数学中的方程思想。现在把表格中的第1题改编一下，请大家思考。例2 求等比数列,的第5项到第10项的和。生10：，第5项到第10项的和可看成首项是的等比数列前6项和。生11：前10项的和减去前5项的和。生12 ：应该是前10项的和减去前4项的和，即。师：我把这些数变一下：数列,的前项和怎么求？生13：把它们分成两组，一组等差，一组等比再分开求和。师：可通过分组把此数列转化成一个等差数列和一个等比数列，然后利用公式求和。如果这里的数值再改变一下：数列,的前项和怎么求？它有什么特征？生14：分子成等差数列，分母成等比数列，但是没法分组求和了。师：这位同学观察得很仔细。这道题虽然没法分组处理，但可以用我们今天介绍的错位相减法进行求和，请同学们课后试一试。点评这些问题都源于课本，高于课本，无疑加大了数学思维的梯度和强度。师：今天，我们这节课主要学习了哪知识？生：等比数列前项和公式。师：在公式推导过程中，我们运用了错位相减法，运用这种方法时要注意三点：等式两边是同乘以公比；分和两种情况进行讨论；在公式涉及的五个量中，可以“知三求二”，体现了方程思想。在剖析例题时，我们运用了分组求和的方法，它又隐含转化的思想。师：数学并不抽象，它来源于实际，又服务于生活。“神舟六号”刚刚发射成功，我就收到一条短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第位接收此消息的”假定这家公司发出的10条短信中的值均为1，以后每一位收到短信后将值都增加1，再将信发出。据统计，所发短信中的最大为10。试问通过这家公司最多发了多少短信？请同学们课后思考这个问题。师：课后请同学们完成下面的作业。(1)书面作业必做题：课本第129页第3题的(1)和习题3.5的第1题。选做题：画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类