概率论与数理统计》第一章(修改.ppt

概率论与数理统计,开课学院：信息学院 数学系,参考书：1.概率论与数理统计教与学参考 阎国辉 主编 中国致公出版社 2.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题 龙永红 主编 高等教育出版社,概率论是研究什么的？,概率论与数理统计的研究对象 随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,序 言,第 一 章 随机事件及其概率,第一节 随 机 事 件,第三节 条件概率,第四节 事件的独立性和伯 努利概型,第二节 随机事件的概率,第五节 习题课,一、概率论研究对象: 随机现象,3.随机试验的特点 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表示为E,第一节 随机事件,1.确定性现象(或必然现象) 在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100肯定会开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性),2.随机现象(或不确定性现象) 在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果. 如抛一枚硬币,观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果.,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重.,随机试验例子,随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.,1. 样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 2. 样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为,二、概率论的研究范畴:样本空间(P4),随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定的.例如连续抛一枚硬币两次,如果观察正面或反面朝上的情况,并用数字1表示正面朝上,数字0表示反面朝上,三. 随机事件,1.定义 随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件, 简称事件.记作A、B、C等 显然，随机事件在试验中可能发生也有可能不发生. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件 A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时）.,四、事件之间的关系,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间 的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还 应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生 了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生.易见，事 件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系 可以用集合之间的关系来描述.,1.包含关系 “A发生必导致B发生”记为AB 2.事件的相等 AB AB且BA.,3.和事件,n个事件A1, A2, An至少 有一个发生，记作,4.积事件 A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2, An同时 发生，记作 A1A2An,“事件A与B至少有一个发生”,记作AB,5.差事件 AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生(或在A而不在B内),思考：何时A-B=?何时A-B=A？,6.互斥的事件 AB (互不相容事件),五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,7.对立事件,例1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例2 设A、B、C为三事件,则”A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为( ),答案,D,例3 一个电路如下图所示,Ai表示第i个开关闭合,则电路a至b导通这一事件可表示为( ),例4 设三个元件寿命分别为T1,T2,T3 ,并联成一个系统,于是只要有一个元件能正常工作,系统便能正常工作,则事件”系统的寿命超过t”可表示为 ( ),答案,答案,C,D,【返回】,答案,C,答案,B,对于随机事件而言，在一次试验中可能发生也有可能不发生，所以我们希望知道在一次试验中这个事件发生可能性大小。从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,第二节 随机事件的概率,一.频率,定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的 频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,2. 频率的性质,若 是两两不相容事件,则,有限可加性,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,二、概率,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A,均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事 件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,这个定义称为概率的公理化定义。这三个条件也就是著名的概率论三大公理。,2.概率的性质 (1)对于不可能事件,(4)事件差 A、B是两个事件,则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2)有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,（3）,(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 特别地,当AB= 时,有P(AB)=0,此时 可记P(AB)P(A+B)=P(A)P(B) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2， ，An的情形；如 P(AB C)P(A)P(B)+P(C) P(AB) P(AC)P(BC)+P(ABC) (6) 可分性：对任意两事件A、B，有,例4 某城市中发行2种报纸A,B.经调查在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,同时订阅这2种报纸的有10%,求(1)只订阅A报的概率;(2)只订阅1种报纸的概率.,例5 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全 体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少 订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,习作题,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,三、古典概型,若某随机试验E满足 (1) 有限性：样本空间 (2)等可能性： 则称E为古典概型,也叫等可能概型。,1. 古典概型的定义,设事件A中所含样本点的个数为M,以N 记样本空间中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则P( A B ) P(A) P(B),2.古典概型的概率计算,例子:有三个子女的家庭,设每个孩子是男孩是女孩 的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,事件A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,【返回 】,解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,(1)乘法公式：设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,1.全部排列与组合公式的推出基于两条原理,(2)加法公式：设完成一件事可有两种途径, 第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种 方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。,(1)有重复排列:从含有n个元素的集合中随机 抽取k次,每次取一个,记录其结果 后放回,将记录结果排成一列,共有nk种排列方式(分k步完成,乘法原理).,1排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次,(2)无重复排列(选排列)：从含有n个元素的集合中 随机抽取k 次,每次取一个,取后不放回,将所取 元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式. 分k步完成,乘法原理,(3)全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次, 每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列.,共有Pnn=n(n-1)(n-2)321=n种排列方式. 分n步完成,乘法原理,3.组合,种取法.,(1)从含有n个元素的集合中随机抽取k个,而不考虑其顺序共有,【返回】,3.古典概型的几类基本问题,(1). 随机取数问题,(2). 摸球问题(产品的随机抽样问题),(3). 质点入盒问题,(4). 分组问题,古典概型的几类基本问题,解这一类问题的关键在于求出样本空间的样本点总数和所讨论事件包括的样本点数,方法有两种:一种是直观观察,另一种方法通过排列和组合求解,通常用排列组合的方法.,例子 连续掷一个均匀骰子两次,求出(1)样本空间包 括的样本点总数;(2)事件A=第一次出现奇数点而第 二次出现偶数点这一事件所包括的样本点数. 思考题:连续掷一个均匀骰子三次,求出(3)样本空间包括的样本点总数;(4)事件A=第一和第三次出现奇数点而第二次出现偶数点这一事件所包括的样本点数.,解 方法一: 通过直观数数,样本空间的样本点 总数为,方法二: 通过排列组合的方法计算样本空间的样本点总数,乘法原理,试验分为两个步骤完成,请给出思考题的答案,例1 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率; （2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率; （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率.,解:设A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,1、随机取数问题,例2 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率; (2)求取到的数能被8整除的概率; (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,解:N()=200,M(3)=200/24=8,M(1)=200/6=33,M(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为33/200,1/8,1/25,例4 从15这五个数中等可能有放回地抽取3个,求下列事件的概率:A=三个数完全不同,B=三个数中不含1和5,C=三数中5恰好出现两次,D=三数中至少有一次出现5,解 先求样本空间的样本点总数,事件 A的 样本 点数,事件B的样本点数,事件C的样本点数,【返回】,2、摸球问题(产品的随机抽样问题),例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。,解:设A-取到一红一白,一般地,设盒中有N个球,其中有M个 白球,现从中任抽n个球,则这 n个球中恰有k个白球的概率是,例2 袋子中有编号110的十个球,从中取出3个,求取出的3个 球中恰好有一个编号小于5,一个编号大于5,一个编号等 于5的概率.,你能解释抽签的合理性吗?,值得注意的是,所求概率的值与k无关,表明无论哪一次取出黑球的概率都一样;也就是说,取出黑球的概率与先后次序无关.,例6 袋子中有45个白球,5个黑球,从中任取3个,求有黑球的概率.,解 有黑球包括(1)有1个黑球2个白球;(2)有2个黑球1个白球; (3)3个都是黑球这三种情况.,例 7 工业生产中,可采用两种抽样方式:(1) 每次抽取一件样品,检查后将它放回这批产品中,然后再抽取下一件样品,这种抽样方式称为放回抽样;(2)每次抽取一件样品,检查后不再将它放回这批产品中,就继续抽取另一件样品,这种抽样方式称为不放回抽样.,设一批产品共100件,其中有95件正品和5件次品,按上述两种抽样方式从这批产品中抽取10件样品,分别求取出的10件样品中恰有2件次品的概率.,解 (1)有放回抽样,(2)不放回抽样,【返回】.,3、质点入盒问题 例1：将3个球随机的放入3个盒子中去,问（1）每盒恰有一球的概率是多少?（2）空一盒的概率是多少?,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒正好有一球的概率是：,【返回】,某班级有n 个人(n365),问至少有 两个人的生日在同一天的概率有多大？至少有1人的生日在十月一日的概率?,例2 n 个人等可能地分配到N间房中(mnN),每房容纳的人数不限,求下列事件的概率: A=指定的n间房各有一人;B=恰好有n间房各有一人 C=指定的一间房有m人;D=正好有一间房有m人;,4. 分组问题,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,【返回】,例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均 分成 3组,求:（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。,解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,四、 几何概型,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.,定义1 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明: 事件A发生的概率与位置无关,只与A的 度量有关，这体现了某种“等可能性” .,例1 某人午觉醒来, 发觉表停了, 便打开收音机收听电台报时, 已知电台每个整点报时, 求他能在10 分钟之内听到报时的概率.,由于上一次报时和下一次报时的时间间隔为60分钟，而这个人可能在内的任一时刻打开收音机，所以这是一个直线上的几何概型问题.,解,用x表示他打开收音机的时刻，,表示事件,他能在10分钟之内听到电台报时, 则,两船发生冲突的充要条件为,例2 甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是20分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.,会面问题,解,因为甲、乙两船都在七点至八点间的60分钟内,任一时刻到达，,以x , y 分别表示甲乙二船到达的时刻，那么,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面 上点的坐标 ,则有,例3 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它 们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如 果它们约定见车就乘; 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的 时刻是互相不牵连的, 且每人在1时到2 时的任何时 刻到达车站是等可能的.,见车就乘 的概率为,设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻,则有,解,1.3 条件概率,二 条件概率的计算方法,三 概率的乘法公式,四 树图在概率计算中的应用,一 条件概率的定义,(一) 引例,一 条件概率的定义,例1 某家庭有两个小孩,(1)求有一个男孩和一个女孩的概率 (2)现已经知道有一个是女孩,求有一个男孩和一个女孩的概率,解 (1) =(女,女) ,(女,男),(男,女),(男,男) 事件一男孩一个女孩=(女,男),(男,女) 故所求的概率P=1/2.,(2) =(女,女) ,(女,男),(男,女) 事件一男孩一个女孩=(女,男),(男,女) 故所求的概率P=2/3.,所求得的两个概率不相同,你能说出其中的原因吗?,例2 袋中有十只球，其中九只白球,一只红球,十人依次 从袋中各取一球(不放回),问第一个人取得红球的概率是 多少？第二 个人取得红球的概率是多少？,?,已知第一个人取到的是白球,则第二个人取到红球的概率是多少？,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A发生条件下B发生的概率,记作P(B|A),1,2,7,4,5,6,8,9,10,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,（二）条件概率定义,为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,一般地，设A、B是样本空间中的两个事件，则称,称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)? 何时P(A|B)P(A)? 何时P(A|B)P(A)?,概率的定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A)0； (2) P()1; (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,【返回】,（三） 条件概率的计算,条件概率的计算方法有两种: 方法一 应用缩减的样本空间进行计算; 方法二 根据条件概率定义的计算公式进行计算.,例1 从0,1,2,9这十个数中任取一个,设事件B=取得的数为3的倍数,A1=取得的数为偶数,A2=取得的数大于8, A3=取得的数小于8,试求: P(B),P(B/A1),P(B/A2),P(B/A3),并比较它们的大小.,解(1) = 0,1,2,9,B=0,3,6,9,P(B)=4/10=2/5,(2) A1= 0,2,4,6,8,B=0,6,P(B/A1)=2/5,(3) A2= 9,B=9,P(B/A2)=1/1=1,(4) = 0,1,2,7,B=0,3,6,P(B)=3/8,显然有P(B)=P(B/A1),P(B/A2)P(B), P(B/A3)P(B).,例2 设在10个同一型号的元件中有7 个一等品,从这些元 件中不放回地连续取两次,每次取一件,求在第一次取得一 等品的条件下,第二次取得一等品的概率.,解 设Ai表示第i次取得一等品(i=1,2). 方法一 (用条件概率公式求解) 因为第一次取出1个一等品后,剩下的9个元件中还有 6个一等品,故有,方法二 (用缩减的样本空间求解),因为第一次取出1个一等品后,剩下的9个元件中还有 6个一等品,故可直接计算如下,例3 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,解 设A-从盒中随机取到一只红球,A,B-从盒中随机取到一只新球.,B,方法一 用缩减的样本空间进行计算,方法二 用条件概率定义的计算公式进行计算,例4 为防止意外,在矿井内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时,其有效的概率分别是0.92和0.93, 在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求在B失灵的条件下,A有效的概率.,习作题 一批产品中一二三等品各占60%,30%和10%,现从中任意取出一件,结果不是三等,求取得的是一等品的概率.,【解答】,解 方法一 (缩减的样本空间计算),方法二 (条件概率公式计算),【返回】,则 N=90, M=60, 故P(B/A)=60/90=2/3,因 P(A)=90/100=9/10, P(AB)=60/100=3/5,故 P(B/A)= P(AB)/P(A) =(3/5) (9/10)=2/3.,设A=取出的不是三等品,B=取得的是一等品,设A、B,P（A）0,则事件A与B的交的概率 P(AB)P(A)P(B|A) 或者P（A）0时, P(AB)P(B)P(A|B) 称为事件A、B的概率乘法公式。,上式可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 如何证明? 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,二、概率乘法公式,例1 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件上不放回地连续取三次,每次取一个求:(1)三次都取得一等品的概率; (2)三次中至少有一次取得一等品的概率.,1,1,1,1,1,1,1,(2)分析:三次中至少有一次取得一等品,包括正好取得 一件一等品,正好取得两件一等品和正好取得三件一等品这三种情形,直接计算比较烦琐,以下用逆 事件求解,即三次都是非一等品,1,1,1,1,1,1,1,例2 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回).甲先乙次丙最后,求:(1)甲抽到难签的概率;(2)甲和乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到而乙抽到难签的概率;(4)甲,乙和丙都抽到难签的概率.,难,难,难,难,易,易,易,易,易,易,解 设事件AB C分别表示甲乙和丙各抽到难签,于是有,例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之 球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求 第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解 设Ai为第i次取球时取到白球，则所求概率为,【返回】,(一)全概率公式,本节先用树图解决一些概率问题,然后再提炼出全概率公式,例1 连续两次掷一枚均匀硬币两次,所有可能的结果有哪些? 出现一次正面一次反面的概率是多少?,解 样本空间为=(正,反),(正,正),(反,正),(反,反) 事件A=(正,反), (反,正),故P(A)=2/4=1/2,用树图求解如下,设Ai表示第i次出现正面(i=1,2),正,反,正,反,正,反,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,P=1/2,第一次,第二次,从右边树图可以看出到达事件 A=一正一反有两条路径(加法原理),而每一条路径分为两步(乘法原理),于是所求的概率为,三、树图在概率计算中的应用,例2 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙 机未被击落,就进行反击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被 击落,则继续攻击乙机,击落乙机的概率为0.4;求在这几个回 合的较量中:(1)甲机被击落的概率;(2)乙机被击落的概率.,乙机落,乙机未落,甲机落,甲机未落,乙机落,乙机未落,第一回合,第二回合,第三回合,习作题 猎人在100m处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一 次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑使距离变为150m; 如果第二次未击中,则进行第三次射击,此时距离变为200 假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情 下击中动物的概率.(p35第17题),击中,未击中,击中,击中,未击中,第一次射击,未击中,第二次射击,第三次射击,例3.某厂有(1)(2)(3)三条生产线生产同一种产品，已知各条生产的产量分别占该厂总产量的25%、35%、40%，各条和产线的产品的次品率分别为 5、4、2，将该厂所有产品混合投放市场,某消费者购买该厂的一件产品,求 这件产品是次品的概率。,B,A1,A2,A3,B,上图可表示成右下树图:,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。,B,A1,A2,A3,B,上图可表示成右下树图:,例5.某有外形相同的球分为三个盒子,每盒有10个球,其中第一个盒子中有7个标有字母a3个标有字母b第二个盒子有红,白球各5个第三个盒子有红球8个白球2个.试验按以下规则进行:先在第一个盒中任取一球,若取得标有字母a的球,则第二次在第二个盒中再任取一球若取得标有字母b的球,则第二次在第三个盒中再任取一球,求第二次取出的球是红球的概率。,a,a,a,a,a,a,a,b,b,b,A1,A2,B,上图也可表示成右边树图,于是得:,定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,B,A1,A2,An,树图表示,定理1、(p22) 设A1，, An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有,公式称为全概率公式。,习作题 (P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1 从甲袋放入乙袋的是白球; A2 从甲袋放入乙袋的是红球; B 从乙袋中任取一球是红球;则,甲,乙,第一种可能,第二种可能,上图可表示成右边树图,于是得:,A1,B,A2,例1:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,现有某消费者从市场上购得该品牌产品而且是次品,问这件次品最有可能是哪个工厂的产品?,次品来源图,0.25,A1,0.02,B,A2,0.25,0.01,0.5,A3,0.03,先求总的次品率,(二)贝叶斯公式,例2 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解 设B表示从一箱中任取4只检查,结果都是好的. A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,例3 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,解：设A-发射端发射0, B- 接收端接收到一个“1”的信号.,发 射 信 号0,0.55,发 射 信 号1,0.45,接收 信号 0 1 不清,0. 9,0.05,0.85,0.05,0.1,0.05,定理2 设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B ，有,上式称为贝叶斯公式。,贝叶斯公式也可以理解为,已知某个结果B出现,寻找这个结果是由各种原因Ai引起的概率.,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,【返回】,引例 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中有放回地连续取二次,每次取一个求:第二次都取得一等品的概率.,第四节 事件的独立性和伯努利概型,1,1,1,1,1,1,1,定义1 设A、B是两事件，P(A) 0,若P(B)P(B|A) 则称事件A与B相互独立。 上式等价于:P(AB)P(A)P(B),一、两事件独立,定理、以下四件事等价： (1)事件 相互独立； (2)事件 相互独立； (3)事件 相互独立； (4)事件 相互独立。,?,思考题:互不相容事件和独立事件有关系吗? 你能否给出直观的解释?,二、多个事件的独立,(一) 多个事件两两独立,例2 一均匀正八面体,其第1,2,3,4面染红色,第1,2,3,5面染白色, 第1,6,7,8面染黑色,以A 、B 、C分别表示投一次正八面体出现 红、白、黑事件,则有,(二)、多个事件的独立性的定义,定义 若三个事件A、B、C满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立.,定义3 (p26)若n个事件A1 , A2 , ,An (n3),若其中任意k个事件,?,思考题:你能否解释该式子?,解释:,(三) 应用独立性计算概率,1.应用公式计算概率,?,你能用加法公式求解吗?,例2 袋中有2个白球3个黑球.有放回地取两次,每次取一个, 求两次取到的球都是白球的概率.,例3 对同一目标独立进行三次射击,第1、第2、第3次射击的命中率分别为0.4 、0.5和0.7,求:(1)三次中恰好有一次击中目标的概率;(2)三次中至少有一次击中目标的概率.,例4 用高射炮射击飞机,若每门炮击中飞机的概率为0.6,欲 以99%的把握击中飞机,问至少需要配置多少门高射炮?,您能用加法 公式求解吗?,习作题:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购 进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完 的概率也是1/2.各家图书馆是否购进该书相互独,问 该学生能够借到书的概率是多少？,习作题： 1. 设事件A、B、C、D相互独立则,2. 一颗骰子掷4次至少得一个六点的概率是多少?,【解答】,【解答】,PLAY,将一枚硬币独立地掷两次,引进事件A1=掷第一次出现正面 A2=掷第二次出现正面,A3=正、反面各出现一次, A4=正面出现两次,则有结论 ( )成立. A1、A2、A3相互独立; (B) A2、A3、A4相互独立; (C) A1、A2、A3两两独立; (D) A2、A3、A4两两独立;,【解答】,加法公式,独立性的定义,提取公因子,加法公式,【返回】,【返回】,3. 解 样本空间=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),A1=(正,正),(正,反), A2=(反,正),(正,正) A3=(正,反),(反,正), A4=(正,正),【返回】,例1 一个元件能正常工作的概率称为 这个元件的可靠性,一个系统能正常工 作的概率称为这个系统的可靠性.设一 个系统由四个元件按右图组成,各个元 件能否正常工作是相互独立的,且每个 元件的可靠性都等于p(0p1),求这个系统的可靠性。,2. 独立性在可靠性理论上的应用,解 设Ai表示第i个元件能正常工作(i=1,2,3,4), 事件A表示系统LR能正常工作，则有,加法公式,德摩根定律,例2如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,由全概率公式,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,【返回】,一. 伯努利概型的特点 1.重复: 试验重复进行n次; 2.独立: 每次试验是独立的,即每次试验结果出现的概率 不依赖于其它各次试验的结果. 3.每次试验的结果只有两个,即事件A出现或是不出现.,三、 伯努利概型,二. 伯努利概型的计算 事件A在n次独立试验中恰好出现(发生)k次的概率. 定理 在伯努利概型中,设事件A在每次试验中发生的概率为 P(A)=p(0p1),则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为,定理的解释: 先看比较简单的试验,试验共 进行 3次, 求在这3次试验中事件A正好 发生2次的概率.,事件A在3次试验中出现2次的可能情况如下:,试 验,概 率,第一 次,第二 次,第三 次,乘法 原理,第一 次,第二 次,第三 次,第一 次,第二 次,第三 次,三.常见题型,另解,分析 第10次试验才取得4次成功的含义为:第10次为成功,而在 前9次试验中,试验成功3次(伯努利试验),由乘法原理可得,例7 假定射击中每次最多击中10环,已知某运动员在每次射击中击中10环、9环、8环的概率分为0.4 、0.3 、0.2,求该运动员在5次射中总环数不少于48环的概率.,分析 总环数不少于48环,有以下四种情形:(1) 5次都击中10环;(2) 4次击中10环,1次击中9环;(3) 3次击中10环,2次击中9环(4) 4次击中10环,1次击中8环. 可由加法原理求得概率.,习作题 某数学试卷上有6道选择题,每道题4分,每题有4个备选答案,其中只有一个正确.今有一考生只会 做4道题,每道题做对的概率为0.8;另2道题不会 做,只能瞎猜,求考生得到16分的概率.,提示 能得16分相当于做对了4道题,其可能结果是(1)会做的4道 题全做对;(2)会做的只对3题,猜对1题;(3)会做的只对2题,猜对2题.,例8 一个平面上的质点从原点出发作随机游动,若每秒 走一步(步长为1),向右走的概率为p,向上走的概率为 q=1-p(0p1) (1) 8秒钟走到点A(5,3)的概率是 多少?(2)已知它8秒钟走到了点A(5,3),求它前5步均 向右走, 后三步向上走的概率是多少?,解 (1)记B到达点A(5,3),则事件B发生相当于8次试验中向右走了5步,向上走了3步,故所求的概率为,(2) 记C-前5步均向右走,后三步向上走.所求的概率为P(C/B),例9 某厂生产的每台仪器可直接出厂的占0.7,需要调试的点0.3,