浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.1导数的概念及运算讲义（含解析）.docx

4.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义2.会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(axb)的导数).导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0).(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axlnaf(x)lnxf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(4)因为(lnx)，所以lnx()(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(6)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cosx()题组二教材改编2P18A组T5若f(x)xex，则f(1).答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3P18A组T6曲线y1在点(1，1)处的切线方程为答案2xy10解析y，y|x12.故所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A.B.C.D.答案D6已知f(x)x22xf(2018)2018lnx，则f(2018)等于()A2018B2019C2019D2018答案B解析由题意得f(x)x2f(2018)，所以f(2018)20182f(2018)，即f(2018)(20181)2019.7已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a.答案1解析f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得a1.题型一导数的计算1已知f(x)sin，则f(x).答案cosx解析因为ysinsinx，所以y(sinx)cosx.2已知y，则y.答案解析y.3已知f(x)ln，则f(x).答案解析y.4已知f(x)x22xf(1)，则f(0).答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思维升华导数计算的技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数为商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1 (1)(2018湖州调研)函数yex(e是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是()Ayx1Byx1Cyx1Dyx1答案B解析yex，则在点(0,1)处的切线斜率为1，则切线方程为yx1，故选B.(2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0)又f(x)1lnx，直线l的方程为y1(1lnx0)x.由解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln11.直线l的方程为yx1，即xy10.引申探究本例(2)中，若曲线yxlnx上点P的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是答案(e，e)解析y1lnx，令y2，即1lnx2，xe，点P的坐标为(e，e)命题点2求参数的值例2 (1)若直线yax是曲线y2lnx1的一条切线，则实数a等于()ABCD答案B解析设直线yax与曲线y2lnx1的切点横坐标为x0，则有y|，于是有则ax02,2lnx012，解得x0，a，故选B.(2)函数f(x)lnxax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2，) D(0，)答案B解析因为f(x)a，直线2xy0的斜率为2，由题设知存在x0，使a2，即a2，又x0，所以a0)，则有yx0，解得x02或x03(舍去)，故选B.(2)下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)等于()A.BC.D或答案B解析因为f(x)x22ax(a21)，所以f(x)的图象开口向上又a0，所以f(x)不是偶函数，即其图象不关于y轴对称，则f(x)的图象为第三个图，由图象特征知f(0)0，所以a210，又f(x)图象的对称轴xa0，所以a1，因此f(x)x3x21，f(1)11.(3)已知b0且直线yaxb与曲线ybex相切，则实数等于()A.B1C.De答案B解析设切点为(x0，y0)，则记m0，则x0，所以lnm，解得m1，故选B.1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)答案C解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2已知函数f(x)cosx，则f()f等于()ABCD答案C解析因为f(x)cosx(sinx)，所以f()f(1).3曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10答案C解析ycosxex，故切线斜率k2，切线方程为y2x1，即2xy10.4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan1,0)，又0，)，.5(2019温州调研)已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为()AeBeC.D答案C解析ylnx的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，lnx0)，则y|，切线方程为ylnx0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以lnx01，解得x0e，故此切线的斜率为.6f(x)x(2019lnx)，若f(x0)2020，则x0.答案1解析f(x)2019lnxx2020lnx，由f(x0)2020，得2020lnx02020，x01.7已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为答案(2,9)解析f(x)2x21，f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2,9)8设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a.答案3解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1，曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.9若曲线ylnx的一条切线是直线yxb，则实数b的值为答案1ln2解析由ylnx，可得y，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线ylnx的一条切线是直线yxb，可得，解得x02，则切点坐标为(2，ln2)，所以ln21b，b1ln2.10(2018宁波质检)已知曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a.答案1e解析因为f(x)lnx1，所以曲线f(x)xlnx在xe处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，联立得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1)；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为(用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由题图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，则f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，则有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)h(1)12已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.13给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M()A在直线y5x上B在直线y5x上C在直线y4x上D在直线y4x上答案B解析由题意，知f(x)54cosxsinx，f(x)4sinxcosx，由f(x0)0，知4sinx0cosx00，所以f(x0)5x0，故点M(x0，f(x0)在直线y5x上14(2018浙江杭州地区四校联考)已知曲线f(x)acosxbsinx在x处的切线恒过点，若tan，且，求f()的值解因为f(x)acosxbsinx，所以其导数为f(x)asinxbcosx，所以曲线yf(x)在x处的切线的斜率kasinbcosa，又facosbsinb，所以切点坐标为，所以切线方程为yba.因为该切线恒过点，所以2ab2.因为tan，且，所以sin，cos，所以f()acosbsin.15(2018温州市适应性测试)若函数f(x)满足对任意的xR都有|f(x)f(x)|2(其中f(x)为f(x)的导数)，则f(x)的解析式不可能是()AsinxBexC.D.答案D解析若f(x)sinx，则f(x)cosx，所以|f(x)f(x)|sinxcosx|2，故排除A；若f(x)ex，则f(x)ex，所以|f(x)f(x)|ex(ex)|02，故排除B；若f(x)，则f(x)，所以|f(x)f(x)|2，设y，则yx2xy10，则存在x0R，使yxx0y10，所以14y(y1)0，解得y，所以0y22，即|f(x)f(x)|2.故选D.16(2018浙江五校第二次联考)若x1，x2R，求(x1)2(x2)2的最小值解方法一设x2lnx3，x30，则(x1)2(x2)2(x1x3)2(lnx3)2，其几