高中数学映射与函数.ppt

第二章 函 数,2.1 映射与函数,基础知识 自主学习,要点梳理 1.映射 （1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对 应关系f，对于集合A中的 ，在集合 B中都有 的元素和它对应，那么，这样的对 应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关 系f）叫做 的映射，记作f：AB.,任何一个元素,唯一,集合A到集合B,（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射， 且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b叫做元素a的 ，元素a叫做元素 b的 . 2.函数 （1）函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 ，在集合B中 都有 ，称f：AB为 从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),xA.x 的取值范围A叫做函数的 ， 叫做函数的值域.,象,原象,任意一个数x,唯一确定的数f(x)和它对应,定义域,函数值的集合,f(x)|xA,（2）函数的三要素 、 和 . （3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 、 、 . 3.反函数 （1）定义 函数y=f(x)（xA）中，设它的值域为C，根据这 个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x= (y).如果对于y在C中的 ，通过x= (y)，x在A中都有 和它对应，那么, x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这,定义域,值域,对应法则,解析法,列表法,图象法,任何一个值,唯一的值,样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的 ，记作 ，习惯上用x表示自变量，用 y表示函数，把它改写成 . （2）互为反函数的函数图象的关系 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于 直线 对称.,反,函数,x=f -1(y),y=f -1(x),y=x,基础自测 1.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的 有 （ ） A. B. C. D. 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.,D,2.给出四个命题： 函数是其定义域到值域的映射； f（x）= 是函数； 函数y=2x（xN）的图象是一条直线； f（x）= 与g(x)=x是同一个函数. 其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 由函数的定义知正确. 满足f（x）= 的x不存在，不正确. 又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的 点，不正确. 又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确.,A,3.下列各组函数是同一函数的是 （ ）,解析 排除A； 排除B； 当 即x1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C. 故选D. 答案 D,4.函数f(x)=3x+5,x0,1的反函数f-1(x)= . 解析 y=3x+5, 又0x1,5y8, f(x)的反函数为,y,5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= . 解析,题型一 求函数的解析式 【例1】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). 问题（1）由题设f（x）为二次函数， 故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用 解方程组法求解.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 （1）f（x）为二次函数， 设f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. 由已知得c=1. 由、式解得b=2,a= ,c=1, f（x）= x2+2x+1.,探究提高 求函数解析式的常用方法有：(1)代入 法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析 式；(2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变 形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,知能迁移1 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）； (2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.,解 (1) （2）设f（x）=ax+b（a0），则 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7.,题型二 分段函数 【例2】设函数f(x)= 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.,思维启迪,解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x0时，方程 f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3. 答案 C 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题. 如本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时，f（x）=x的解的个数.,探究提高,知能迁移2 （2009山东理，10）定义在R上的函数 f(x)满足 则f(2 009)的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) f(x+6)=f(x). 即当x0时，函数f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(3346+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log2 2=1，f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.,C,题型三 函数的实际应用 【例3】 （12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年 销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高 产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增 加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年 利润=(出厂价-投入成本)年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例 x的关系式；,（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本 增加的比例x应在什么范围内？ 准确理解题意，构建函数模型. 解题示范 解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为 1+x(万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x) (万元)， 销售量为1 000(1+0.6x) (辆). 故利润y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000 (1+0.6x), 4分 整理得y=-60x2+20x+200 (0x1). 6分,思维启迪,（2）要保证本年度利润比上一年有所增加， 则y-(1.2-1)1 0000, 8分 即-60x2+20x+200-2000, 即3x2-x0. 10分 解得0x ,适合0x1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加 的比例x的取值范围是0x . 12分 函数的实际应用问题，要准确构建数学模型，求得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般情况下，都要受到实际问题的约束）.,探究提高,知能迁移3 （2009浙江，文15理14）某地区居民 生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计 价.该地区的电网销售电价表如下：,若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.,解析 高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时 电价为500.568元，后150千瓦时为1500.598元. 低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为 500.288元，后50千瓦时为500.318元，电价 为500.568+1500.598+500.288+500.318= 148.4（元）. 答案 148.4,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同， 则两个函数为同一函数. 2.函数有三种表示方法列表法、图象法和解析 法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式 比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法 和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为 函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并 明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解 析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要 引起足够的重视.,3.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以 下几种情况： (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； (2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0的实数集； (3)若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数集合； (4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (5)若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数 的定义域应符合实际问题.,失误与防范 1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量，而后 寻找等量关系，求函数解析式，但要根据实际问 题确定定义域. 2.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每 元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不 同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许 一对多；（2）B中元素可无原象，即B中元素可有 剩余.,一、选择题 1.下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ）,定时检测,解析 答案 D,2.已知f(x)= 使f(x)-1成立的x的 取值范围是 ( ) A.-4，2） B.-4，2 C.（0，2 D.（-4，2,解析,B,3.（2009广东文，4）若函数y=f(x)是函数 y=ax(a0,且a1)的反函数，且f(2)=1,则 f(x)= （ ） A. B.2x-2 C. D.log2x 解析 函数y=ax(a0,且a1)的反函数是 f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2, 故f(x)=log2x.,D,4.（2008山东）设函数 的值为 （ ） 解析,A,5.（2008陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于（ ） A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,6.函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上存在反函数的 充要条件是（ ） A.a(-,1 B.a2,+) C.a1,2 D.a(-,12,+) 解析 由二次函数的对称轴为x=a可得答案.,D,二、填空题 7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米 以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是 元. 解析 车费为8+（7.4-3）1.5=14.615（元）.,15,8.（2009北京文，12）已知函数 若f(x)=2,则x= . 解析 当x1时，3x=2,x=log32; 当x1时，-x=2,x=-2(舍去).,log32,9.已知符号函数sgn x= 解析,(x+1)sgn x2的解集是,.,x|x1,则不等式,三、解答题 10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x. （1）求g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)-|x-1|. 解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0，y0) 关于原点的对称点为P（x，y），,点Q（x0,y0）在函数y=f(x)的图象上， -y=x2-2x，即y=-x2+2x, 故g(x)=-x2+2x. （2）由g(x)f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|0. 当x1时，2