线性代数初步行列式定义、性质及其计算.ppt

大学文科数学 之 线性代数与概率统计,北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.3.10,主页：0/ouyang/ 电话：6126101,不动产学院 房地产经营管理,国际特许经营学院 特许经营管理专业,两个教学班成绩比较,教学计划,教材：张国楚等编大学文科数学 第八章线性代数概述 （6周） 第七章概率统计初步 （11周）,要求,作业：每两次或每两周交一次，作业本请写学号,作业要自觉认真完成 上课不要迟到，不要缺席，珍惜上课时间,线性代数初步 行列式定义、性质及其计算,欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校,主要学习内容,两个中心概念：行列式与矩阵 解多元线性 (一次)方程组、线性变换,九章算术现存最早的中国古代数学著作， 是算经十书中最重要的一种。,九章算术共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。 方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。 粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。 衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。,少广：主要讲开平方和开立方的方法。 商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。 均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 盈不足：双设法的问题。 方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。 勾股：勾股定理的应用。,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾实一秉各几何. 现在这里有上等黍捆、中等黍捆、下等黍捆，打出的黍共有斗；另有上等黍捆、中等黍捆、下等黍捆，打出的黍共斗。请你回答，上、中、下等黍各捆所打黍的斗数.,当作课后习题，用行列式求解,九章算术中一道方程题:,答曰： 上禾一秉，九斗四,3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26,九章算术方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法,多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年) 在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo) 至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(EBezout)建立 可见九章算术中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产,什么是线性方程(linear equation),如下形式的方程称为线性方程 其中， 为实常数， 为变量,线性方程与非线性方程的例子,线性方程的几何解释,二元一次方程：2-D空间中的直线 注意方程系数的含义,线性方程的几何解释,线性方程的几何解释,三元一次方程系数的含义,方程系数,法向量,线性方程的几何解释,二元一次方程：2-D空间中的直线 三元一次方程：3-D空间中的平面 四元一次方程：4-D空间中的超平面,线性方程组 (system of linear equations),线性方程组 (system of linear equations),线性方程组 (system of linear equations),线性方程组解的几何解释 (有唯一解）,线性方程组解的几何解释 (无解）,线性方程组解的几何解释 (有无穷多解）,线性方程组解的几何解释 (有唯一解）,二元一次方程组求解例:消元法,一元一方程 ax = b,当 a0 时，,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,一般二元一次方程组的求解,消元法,线性方程组,消去 x2 ,的两边后,两式相加得,类似地，可得,称它为二阶行列式，,于是，上述线性方组的解可以写为,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号,（系数行列式）,例：,求解方程,小结 二阶行列式(determinant),行列式是一个数,二阶行列式可以用来表示二元线性方程组的解,从二元线性方程组 到三元线性方程组,推广：用三阶行列式来表示三元线 性方程组的公式解,问题：怎样定义三阶行列式,这样定义三阶行列式,沙路法,对角线法,由此种方法 进一步推广到四阶行列式,?刚才的方法太复杂,寻求其他规律,元素 的余子式,余子式,元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式,三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的余子式的乘积之代数和,行列式按(第一)行展开,例：求解三元线性方程组 （课堂练习）,行列式按(第一)行展开,四阶行列式的计算,四阶行列式按行展开计算,代数余子式,元素 的余子式,元素 的代数余子式,余子式,元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式,代数余子式,三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和,行列式按(第一)行展开,四阶行列式按行展开计算,n 阶行列式的定义,按第一行展开,下三角形行列式,逐次按第一行展开,下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积,特别,三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和,定理,按第一列展开,上三角形行列式,逐次按第一列展开,上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积,例 计算行列式的值,按第一列展开,课后习题,前述九章算术中一题 今有上禾三秉，中禾二秉