通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数学案理新人教A版.docx

第8讲指数与指数函数1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n1,nN*性质当n是时,a的n次方根为x=na当n是时,正数a的n次方根为x=na,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作n0=0根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,nan=当n为偶数时,nan=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正数的正分数指数幂:amn=nam(a0,m,nN*,且n1).正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,且n1).0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质aras=(a0,r,sQ);(ar)s=(a0,r,sQ);(ab)r=(a0,b0,rQ).3.指数函数的图像与性质y=ax(a0且a1)a10a0时,;当x0时,;当x0且a1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=ax(a0且a1)的图像以x轴为渐近线. 题组一常识题1.教材改编 若x+x-1=3,则x2-x-2=.2.教材改编 已知2x-10且a1)的图像恒过定点.4.教材改编 下列所给函数中值域为(0,+)的是.y=-5x;y=131-x;y=12x-1;y=1-2x.题组二常错题索引:忽略n的范围导致式子nan(aR)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.5.计算3(1+2)3+4(1-2)4=.6.若函数f(x)=(a2-3)ax为指数函数,则a=.7.若函数f(x)=ax在-1,1上的最大值为2,则a=.8.函数y=21x-1的值域为.探究点一指数幂的化简与求值例1 (1)计算:823-780+4(3-)4+(-2)612=.(2)已知x12+x-12=5,则x2+x-2-6x+x-1-5的值为.总结反思 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.变式题 (1)计算:2x-1312x13+x43=()A.3B.2C.2+xD.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且ab0,则a-ba+b=.探究点二指数函数的图像及应用例2 (1)函数y=xax|x|(a1)的图像大致是()A BC D图2-8-1(2)2018辽阳一模 设函数f(x)=|2x-1|,x2,-x+5,x2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)总结反思 (1)研究指数函数y=ax(a0,a1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(ab)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致是()图2-8-2ABCD图2-8-3(2)函数f(x)=|ax+b|(a0,a1,bR)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是.图2-8-4探究点三利用指数函数的性质解决有关问题微点1比较指数式的大小例3 (1)2018凯里一中二模 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.bcaC.bacD.cab(2)2018杭州一中模拟 已知0ab(1-a)bB.(1-a)b(1-a)b2C.(1+a)a(1+b)bD.(1-a)a(1-b)b 总结反思 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.微点2解简单的指数方程或不等式例4 (1)已知函数f(x)=a+14x+1的图像过点1,-310,若-16f(x)0,则实数x的取值范围是.(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.总结反思 (1)af(x)=ag(x)f(x)=g(x).(2)af(x)ag(x),当a1时,等价于f(x)g(x);当0a1时,等价于f(x)g(x).(3)有些含参指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3指数函数性质的综合问题例5 (1)2018遵义联考 函数f(x)=a+bex+1(a,bR)是奇函数,且图像经过点ln3,12,则函数f(x)的值域为() A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)已知f(x)=2x-a2x+1(aR)的图像关于坐标原点对称,若存在x0,1,使不等式f(x)+2x-b2x+1bcB.acbC.cabD.bca2.【微点1】2018河南八市联考 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是()A.M=NB.MNC.MN3.【微点2】当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0且a1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A.(0,1)(1,+)B.(0,1)C.(1,+)D.0,125.【微点3】已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a0,a1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m0,x(-,1恒成立,则实数m的取值范围为.第8讲指数与指数函数考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图像.(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.n次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数aa(a0),-a(a10y10y1增函数减函数对点演练1.35解析 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=5,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=35.2.(-,2)解析 根据指数函数性质,得x-13-x,解得x0,a1,解得a=2.7.2或12解析 若a1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0a0且y1解析 函数的定义域为x|x1,因为1x-10,所以y1,又指数函数y=2x的值域为(0,+),故所求函数的值域为y|y0且y1.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.(1)+8(2)-12解析 (1)823-780+4(3-)4+(-2)612=2323-1+(-3)+2612=22-1+-3+23=4+-4+8=+8.(2)由已知可得x+x-1=(x12+x12)2-2=3,则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,故原式=7-63-5=-12.变式题(1)D(2)55解析 (1)原式=2x1312x13+2x13x43=1+2x.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a-ba+b2=a+b-2aba+b+2ab=6-246+24=15.因为ab0,所以ab,所以a-ba+b=55.例2思路点拨 (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解.(1)B(2)B解析 (1)由题意得y=xax|x|=ax,x0,-ax,x1,当x0时,函数为增函数;当x0时,函数为减函数.结合各选项可得B满足题意.故选B.(2)画出函数f(x)的图像如图所示.不妨令abc,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2.结合图像可得4c5,故162c32,182a+2b+2c34.故选B.变式题(1)A(2)(0,+)解析 (1)由函数f(x)=(x-a)(x-b)的图像可得0a1,b1,f12=0,b1-1=0.例3思路点拨 (1)将a,b化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a,b的大小,再估算c,从而得a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.(1)A(2)D解析 (1)因为a=0.5-2.1=22.120.51,所以ab1,又因为c=0.22.1bc,故选A.(2)因为0a1,所以01-a1,所以y=(1-a)x是减函数,又因为0bb,bb2,所以(1-a)1b(1-a)b,(1-a)b(1-a)b2,所以A,B均错误; 又11+a1+b,所以(1+a)a(1+b)a(1-a)b(1-b)b,所以(1-a)a(1-b)b,所以D正确.故选D.例4思路点拨 (1)先确定a的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)0x12(2)x=log23解析 (1)由题意知f(1)=a+14+1=a+15=-310,则a=-12.因为-16f(x)0,所以-1614x+1-120,所以1314x+112,所以24x+13,所以14x2,解得0x12.(2)当x0时,1-2x0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+412,此时x0,故舍去.当x0时,1-2xg(x)的形式,从而转化为考查函数g(x)的最小值问题.(1)A(2)b2解析 (1)函数f(x)为奇函数,则f(0)=a+b2=0,函数图像过点ln3,12,则f(ln 3)=a+b4=12.结合可得a=1,b=-2,则f(x)=1-2ex+1.因为ex0,所以ex+11,所以02ex+12,所以-11-2ex+11,即函数f(x)的值域为(-1,1).(2)由题意知f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x-12x+1.设h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1=(2x)2+2x+1-1-b2x+1,由题设知h(x)0在0,1内有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b(2x)2+2x+1-1在0,1内有解.设g(x)=(2x)2+2x+1-1,x0,1,而函数y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在0,1上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b2.应用演练1.A解析 因为函数f(x)=0.4x在R上为减函数,所以0.40.60.40.220=1,所以20.20.40.20.40.6,即abc.故选A.2.D解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,所以a2,所以M=(a-1)0.21,N=1a0.1N,故选D.3.A解析 由题意知当x(-,-1时,m2-m2x4x=12x恒成立,当x(-,-1时,12x2,+),则m2-m2,解得-1m0且a1)有两个不等实根可转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图像有两个不同交点. 当0a1时,两函数图像如图,则02a1,即0a1时,两函数图像如图,而y=2a1,不符合题意. 故0a0且a1,解得a=2,b=3,所以f(x)=32x.要使12x+13xm,x(-,1恒成立,只需函数y=12x+13x在(-,1上的最小值不小于m即可.因为函数y=12x+13x在(-,1上为减函数,所以当x=1时,y=12x+13x取得最小值56,所以只需m56即可,即m的取值范围为-,56.【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解.例1配合例1使用 已知a23=2+3,则a+a-1a13+a13的值为.答案 3解析 设a13=t,则t2=2+3,则a+a-1a13+a13=t3+1t3t+1t=t2+1t2-1=2+3+12+3-1=3.例2配合例4使用 2018河南林州一中调研 已知函数f(x)=2x-1,x1,1,x1,则不等式f(x)f2x的解集是.答案 (0,2)解析 当x2时,2x1,不等式无解;当1x2时,12x2,结合函数的单调性,由不等式f(x)f2x得x2x,得1x2;当0x1时,2x2,不等式恒成立;当x0时,2x0,不等式无解.综上可得,不等式f(x)0在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围是.答案 -34,+解析 从已知不等式中分离出实数a,得a-14x+12x.函数y=14x和y=12x在R上都是减函数,当x(-,1时,14x14,12x12,14x+12x14+12=34,从而得-14x+12x-34.故实数a的取值范围为a-34.例4配合例5使用 已