高考数学复习第六讲解析几何微专题2椭圆、双曲线、抛物线学案理.docx

微专题2椭圆、双曲线、抛物线命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018全国卷T8直线与抛物线位置关系2018全国卷T11双曲线的几何性质2018全国卷T5双曲线的渐近线2018全国卷T12椭圆的离心率2018全国卷T11双曲线的离心率圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择、填空题的形式考查，常出现在第411或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等。考向一 圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2018衡水中学五调)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_。(2)(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点。设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析(1)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|。所以|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5,2a10，所以|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5。(2)由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3。因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1。故选C。答案(1)5(2)C(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式。(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。 变|式|训|练1已知双曲线y21的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A1 BC D解析在双曲线y21中，a，b1，c2。不妨设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|PF2|2a2，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|，|PF2|。又|F1F2|2c4，而|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1PF2，所以SPF1F2|PF1|PF2|()()1。故选A。答案A2(2018昆明调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的倾斜角为()A15 B30C45 D60解析分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A，B，C，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NC|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NC|MN|，所以MNC60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30。故选B。答案B考向二 圆锥曲线的几何性质微考向1：圆锥曲线的简单几何性质【例2】(1)已知双曲线C1：y21与双曲线C2：y21，给出下列说法，其中错误的是()A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等(2)(2018福州联考)过双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析(1)由题意知C2：y21，则两双曲线的焦距相等且2c2，焦点都在圆x2y23上，其实为圆与坐标轴的交点。渐近线方程都为yx。由于实轴长度不同，故离心率e不同。故选D。(2)由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以，解得ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为yx。故选A。答案(1)D(2)A(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；在双曲线中：c2a2b2，离心率为e 。(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx。注意离心率e与渐近线的斜率的关系。 变|式|训|练1已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点。若OAB的面积为1，则p的值为()A1 BC2 D4解析双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故A，B两点的坐标为，|AB|2p，所以SOAB2p1，因为p0，解得p，故选B。答案B2(2018武汉调研)已知双曲线C：1(m0，n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0解析由题意知，椭圆中a5，b4，所以椭圆的离心率e，所以双曲线的离心率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0。故选A。答案A微考向2：离心率问题【例3】(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A BC D解析由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c。因为|OF2|c，所以点P坐标为(c2ccos60，2csin60)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以，解得，所以e，故选D。答案D椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值。 变|式|训|练1(2018广州调研)在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为()A BC1 D2解析解法一：设F为双曲线的左焦点，|FF|2c，依题意可得|PO|PF|c，连接PF，由双曲线的定义可得|PF|PF|2a，故|PF|2ac，在PFO中，POF120，由余弦定理可得cos120，化简可得c22ac2a20，即2220，解得1或1(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e1。故选C。解法二：依题意|OP|OF|c|PF|，又OPF为正三角形，所以FOP120，所以|PF|c，又|PF|PF|2acc，所以e1。故选C。答案C2(2018豫南九校联考)已知两定点A(1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A BC D解析解法一：不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为。故选A。解法二：若求椭圆C的离心率的最大值，因为c1，e，所以只需求a的最小值。因为P在椭圆上，依定义得|PA|PB|2a，而A(1,0)关于直线l：yx3的对称点为A(3,2)，所以|PA|PB|PA|PB|AB|2，即2a2，所以a，所以emax。故选A。答案A考向三 直线与圆锥曲线的位置关系【例4】(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若AMB90，则k_。解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，所以k，取AB中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B。因为AMB90，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)。因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴，因为M(1,1)，所以y01，则y1y22，即k2。解法二：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21。由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2。答案2将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法。 变|式|训|练1(2018潍坊统考)已知抛物线y24x与直线2xy30相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则的值为()A BC D解析设A，B，易知y1y20，则k1，k2，所以，将x代入y24x，得y22y60，所以y1y22，。故选D。答案D2(2018常德一模)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为()A B1C D解析由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为yk(x1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)。由得k2x2(2k24)xk20，所以x1x2。又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，所以15，所以x1x28，解得k2，所以k。故选C。答案C1(考向一)(2018惠州调研)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()AB CD解析如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，可求得|PF2|，|PF1|2a|PF2|，。故选D。答案D2(考向一)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A1 B1C1 D1解析由yx，可得。由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29。由可得a24，b25。所以C的方程为1。故选B。答案B3(考向二)(2018贵阳摸底)椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cosPAQ，则椭圆C的离心率e为()AB CD解析解法一：根据题意可取P，Q，所以tanPAF1e，cosPAQcos2PAFcos2PAFsin2PAF，故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2。又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1e，e。故选A。解法二：设PAF，则cosPAQcos2，cos2，cos，所以sin，所以tan，所以a(ac)2b22(a2c2)，2c2aca20,2e2e10，解得e。故选A。答案A4(考向二)(2018洛阳统考)过椭圆1上一点H作圆x2y22的两条切线，A，B为切点。过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则POQ(O为坐标原点)的面积的最小值为()A BC1 D解析依题意，设H(3cos，2sin)(sincos0)，由题意知H，A，O，B四点共圆，故以OH为直径的圆的方程为x(x3cos)y(y2sin)0，即x2y23xcos2ysin0，所以两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为3xcos2ysin20，所以P，Q，所以SPOQ1。故选B。答案B5(考向三)(2018郑州质检)设抛物线y24x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A