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微专题2椭圆、双曲线、抛物线命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018全国卷T8直线与抛物线位置关系2018全国卷T11双曲线的几何性质2018全国卷T5双曲线的渐近线2018全国卷T12椭圆的离心率2018全国卷T11双曲线的离心率圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择、填空题的形式考查,常出现在第411或1516题的位置,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程,难度中等。考向一 圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2018衡水中学五调)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最小值为_。(2)(2018天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点。设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1d26,则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析(1)由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|。所以|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|5,2a10,所以|PM|PF1|5105,即|PM|PF1|的最小值为5。(2)由d1d26,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b3。因为双曲线1(a0,b0)的离心率为2,所以2,所以4,所以4,解得a23,所以双曲线的方程为1。故选C。答案(1)5(2)C(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式。(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”。所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。 变|式|训|练1已知双曲线y21的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|PF2|2,则PF1F2的面积为()A1 BC D解析在双曲线y21中,a,b1,c2。不妨设P点在双曲线的右支上,则有|PF1|PF2|2a2,又|PF1|PF2|2,所以|PF1|,|PF2|。又|F1F2|2c4,而|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,所以PF1PF2,所以SPF1F2|PF1|PF2|()()1。故选A。答案A2(2018昆明调研)过抛物线C:y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|AB|,则l的倾斜角为()A15 B30C45 D60解析分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A,B,C,由抛物线的定义知|AF|AA|,|BF|BB|,|NC|(|AA|BB|)|AB|,因为|MN|AB|,所以|NC|MN|,所以MNC60,即直线MN的倾斜角为120,又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为30。故选B。答案B考向二 圆锥曲线的几何性质微考向1:圆锥曲线的简单几何性质【例2】(1)已知双曲线C1:y21与双曲线C2:y21,给出下列说法,其中错误的是()A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等(2)(2018福州联考)过双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线,若这4条直线所围成的四边形的周长为8b,则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析(1)由题意知C2:y21,则两双曲线的焦距相等且2c2,焦点都在圆x2y23上,其实为圆与坐标轴的交点。渐近线方程都为yx。由于实轴长度不同,故离心率e不同。故选D。(2)由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为8b,所以菱形的边长为2b,由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为,又4条直线分别与两条渐近线平行,所以,解得ab,所以该双曲线的渐近线的斜率为1,所以该双曲线的渐近线方程为yx。故选A。答案(1)D(2)A(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系在椭圆中:a2b2c2,离心率为e ;在双曲线中:c2a2b2,离心率为e 。(2)双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx。注意离心率e与渐近线的斜率的关系。 变|式|训|练1已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点。若OAB的面积为1,则p的值为()A1 BC2 D4解析双曲线的两条渐近线方程为y2x,抛物线的准线方程为x,故A,B两点的坐标为,|AB|2p,所以SOAB2p1,因为p0,解得p,故选B。答案B2(2018武汉调研)已知双曲线C:1(m0,n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数,则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0解析由题意知,椭圆中a5,b4,所以椭圆的离心率e,所以双曲线的离心率为,所以,所以双曲线的渐近线方程为yxx,即4x3y0。故选A。答案A微考向2:离心率问题【例3】(2018全国卷)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C的离心率为()A BC D解析由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|2c,因为PF1F2为等腰三角形,且F1F2P120,所以|PF2|F1F2|2c。因为|OF2|c,所以点P坐标为(c2ccos60,2csin60),即点P(2c,c)。因为点P在过A且斜率为的直线上,所以,解得,所以e,故选D。答案D椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求的值。 变|式|训|练1(2018广州调研)在直角坐标系xOy中,设F为双曲线C:1(a0,b0)的右焦点,P为双曲线C的右支上一点,且OPF为正三角形,则双曲线C的离心率为()A BC1 D2解析解法一:设F为双曲线的左焦点,|FF|2c,依题意可得|PO|PF|c,连接PF,由双曲线的定义可得|PF|PF|2a,故|PF|2ac,在PFO中,POF120,由余弦定理可得cos120,化简可得c22ac2a20,即2220,解得1或1(不合题意,舍去),故双曲线的离心率e1。故选C。解法二:依题意|OP|OF|c|PF|,又OPF为正三角形,所以FOP120,所以|PF|c,又|PF|PF|2acc,所以e1。故选C。答案C2(2018豫南九校联考)已知两定点A(1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:yx3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A BC D解析解法一:不妨设椭圆方程为1(a1),与直线l的方程联立得消去y得(2a21)x26a2x10a2a40,由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0,解得a,所以e,所以e的最大值为。故选A。解法二:若求椭圆C的离心率的最大值,因为c1,e,所以只需求a的最小值。因为P在椭圆上,依定义得|PA|PB|2a,而A(1,0)关于直线l:yx3的对称点为A(3,2),所以|PA|PB|PA|PB|AB|2,即2a2,所以a,所以emax。故选A。答案A考向三 直线与圆锥曲线的位置关系【例4】(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点。若AMB90,则k_。解析解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以yy4(x1x2),所以k,取AB中点M(x0,y0),分别过点A,B作准线x1的垂线,垂足分别为A,B。因为AMB90,所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)。因为M为AB的中点,所以MM平行于x轴,因为M(1,1),所以y01,则y1y22,即k2。解法二:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0),由消去y得k2(x1)24x,即k2x2(2k24)xk20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x21。由消去x得y24,即y2y40,则y1y2,y1y24,由AMB90,得(x11,y11)(x21,y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10,将x1x2,x1x21与y1y2,y1y24代入,得k2。答案2将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程,利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等,有时也可采用设而不求的方法即点差法。 变|式|训|练1(2018潍坊统考)已知抛物线y24x与直线2xy30相交于A,B两点,O为坐标原点,设OA,OB的斜率分别为k1,k2,则的值为()A BC D解析设A,B,易知y1y20,则k1,k2,所以,将x代入y24x,得y22y60,所以y1y22,。故选D。答案D2(2018常德一模)已知抛物线C:y24x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率为()A B1C D解析由题意知直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为yk(x1),点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0)。由得k2x2(2k24)xk20,所以x1x2。又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,所以15,所以x1x28,解得k2,所以k。故选C。答案C1(考向一)(2018惠州调研)设F1,F2为椭圆1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为()AB CD解析如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OMPF2,可得PF2x轴,可求得|PF2|,|PF1|2a|PF2|,。故选D。答案D2(考向一)已知双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆1有公共焦点,则C的方程为()A1 B1C1 D1解析由yx,可得。由椭圆1的焦点为(3,0),(3,0),可得a2b29。由可得a24,b25。所以C的方程为1。故选B。答案B3(考向二)(2018贵阳摸底)椭圆C:1(ab0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交C于P,Q两点,若cosPAQ,则椭圆C的离心率e为()AB CD解析解法一:根据题意可取P,Q,所以tanPAF1e,cosPAQcos2PAFcos2PAFsin2PAF,故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2。又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),所以1e,e。故选A。解法二:设PAF,则cosPAQcos2,cos2,cos,所以sin,所以tan,所以a(ac)2b22(a2c2),2c2aca20,2e2e10,解得e。故选A。答案A4(考向二)(2018洛阳统考)过椭圆1上一点H作圆x2y22的两条切线,A,B为切点。过A,B的直线l与x轴,y轴分别交于P,Q两点,则POQ(O为坐标原点)的面积的最小值为()A BC1 D解析依题意,设H(3cos,2sin)(sincos0),由题意知H,A,O,B四点共圆,故以OH为直径的圆的方程为x(x3cos)y(y2sin)0,即x2y23xcos2ysin0,所以两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为3xcos2ysin20,所以P,Q,所以SPOQ1。故选B。答案B5(考向三)(2018郑州质检)设抛物线y24x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A
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