2018_2019学年高中数学第二章数列专题2.3等差数列的前n项和试题新人教A版.docx

2.3 等差数列的前n项和1数列前n项和的概念一般地，我们称_为数列的前n项和，用表示，即由此易得与的关系为2等差数列的前n项和公式首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为，或3等差数列前n项和公式的函数特性在等差数列中，令，可得，则（1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点； （2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点4等差数列前n项和的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）（2）若数列共有项，则，；若数列共有项，则，（3），（4）构成公差为的等差数列（5）特别地，当时，；当，时，K知识参考答案：1 23K重点等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算K难点等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题K易错解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项由前n项和求通项公式（1）已知求通项公式：利用即可求解；（2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式_【答案】【解析】当时，；当时，而，故数列的通项公式为已知数列的前n项和为，若，求证：是等差数列，并求【答案】证明见解析，【解析】当时，由，可得，因为，两边同时除以可得，所以数列是等差数列因为，所以，即当时，故【名师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件等差数列前n项和的基本量计算在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径在等差数列中，（1）若，则_；（2）若，则_；（3）若，则_【答案】（1）32；（2）54；（3）184【解析】（1）方法1：因为，所以，解得，所以方法2：因为，所以，即，所以，所以（2）方法1：因为，所以，所以方法2：因为，所以（3）根据已知条件利用等差中项可得，则【名师点睛】求数列的基本量的基本方法是建立方程组，或者运用等差数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的等差数列前n项和的性质及应用一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为_【答案】【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，故方法2：易知数列成等差数列，设其公差为d，则前3项和为，即，又，所以，所以，所以方法3：设，则，解得，故，所以方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，三点共线，于是，将，代入解得方法5：因为，又，所以，所以方法6：利用性质：，可得方法7：利用性质：当，时，由于，可得【名师点睛】（1）通过一题多解可清晰地看到，虽然方法1是此类问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度（2）对于方法4，我们可以证明：是等差数列，且，成等差数列，其实质是成等差数列（3）为等差数列为常数（1）设是等差数列的前n项和，若，则_；（2）若数列，的前n项和分别为，且，则_【答案】（1）；（2）【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得（2）由等差数列前n项和的性质得【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质（2）求解；涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理与等差数列有关的前n项和的最值问题设等差数列的首项为，公差为d，则，有最大值，无最小值，只有前面的有限项为非负数，有最大值，无最小值，只有前面的有限项为负数，有最小值，无最大值，有最小值，无最大值数列为常数列已知等差数列的前n项和为，公差为d（1）若，且最大，则整数_；（2）若，且最大，则整数_【答案】（1）1009；（2）13【解析】（1）由等差数列的性质可知，所以，又，即，结合可得，因此最大，故（2）方法1：由，可得，解得，则，显然最大，故方法2：同方法1得，故，显然对于，当时，；当时，故最大，方法3：由于设是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点，由，可得，的对称轴为，易知图象开口向下，故最大，即最大，故【名师点睛】由于，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值但应注意，最接近的正整数有1个或2个数列求和问题对于数列求和问题，有以下几种类型：1求数列的前n项和求和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和已知等差数列的前n项和，求数列的前n项和【答案】【解析】当时，；当时，且，所以显然，当时，；当时，；当时，故当时，当时，综上，【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号，找准临界值，分类讨论进行求解2倒序相加求前n项和教材中等差数列的前n项和公式的推导采用的就是倒序相加法，此处不再赘述3裂项相消求和裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们在求和的过程中出现相同的项，且这些项能够相互抵消，从而将求n个数的和的问题转化为求几个数的和的问题已知数列的通项公式为，则其前n项和_【答案】【解析】因为，所以【名师点睛】在应用裂项相消法求和时应注意：把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项已知数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的值【答案】【解析】由可得，当时，从而数列的通项公式为当时，由得，上述两式相减，可得，当时，得，符合上式，故数列的通项公式为从而忽略等差数列中为0的项而出错设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则当n为何值时取得最大值？【错解】由，可得，即，由可知，解不等式组即得又，故当时取得最大值【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项【正解1】由，得，即，由可知，解不等式组即得由可知，当或时取得最大值【正解2】由，可得，所以，由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大【正解3】由，得，即，由可知，故当或时取得最大值【名师点睛】在等差数列中，若，则（1）为偶数当时最大；（2）为奇数当或时最大1设等差数列的前项和为，若，则A180B90C72D1002设等差数列的前n项和为，若，则可计算出ABCD以上都不对3在等差数列中，前7项和，则其公差是ABCD4已知等差数列的前项和为，则的值为ABCD5若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，又各项的和为540，则此数列共有A3项B12项C11项D10项6已知数列的前项和为，若，则A90B121C119D1207已知等差数列的公差为正数，前项和为，且，则为ABCD8若数列满足且，则使的的值为ABCD9设为等差数列的前项和，若，则_10数列是等差数列，是它的前项和，已知，则_11若等差数列的前项和，则通项公式_12已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为263，则_13甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？14已知等差数列中，（1）求公差的值；（2）求数列的前项和的最小值15设为等差数列的前项和，若，公差，则的值为A5B6C7D816已知等差数列的前项和为，若，则的值为A17B16C15D1417已知数列为等差数列，若且它的前项和有最大值，则使成立的的最大值为ABCD18已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：；数列中的最大项为；其中正确命题的个数为A2B3C4D519已知等差数列的前项和为，若，则_20已知等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为_21（1）设是等差数列的前n项和，若，则_；（2）若数列，的前n项和分别为，且，则_22已知各项均为正数的数列中，是数列的前n项和若对任意的，（1）求常数p的值；（2）求23已知数列的前项和，求数列的前项和24已知数列的前项和为，且满足，（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式；（3）若，求证：25（2018新课标全国理）设为等差数列的前项和，若，则ABCD26（2016新课标全国理）已知等差数列前9项的和为27，则A100B99C98D9727（2017新课标全国理）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D828（2018北京理）设是等差数列，且，则的通项公式为_29（2016江苏）已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是_30（2017新课标全国理）等差数列的前项和为，则_31（2018新课标全国理）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值32（2016新课标全国文）等差数列中，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如0.9=0，2.6=21【答案】B【解析】由等差数列的性质得，从而，故选B2【答案】B【解析】由于，所以，故选B5【答案】B【解析】设此等差数列共有项，由题可得，上述两式相加可得，所以又，解得，故选B6【答案】D【解析】因为，所以，令，解得故选D7【答案】A【解析】由等差数列的性质得，又，所以a3，a7是方程的两根，又公差，所以，从而，所以故选A8【答案】C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，解得，则，故选C9【答案】【解析】10【答案】【解析】由等差数列的性质可知，成等差数列，所以，把，代入上式可得11【答案】【解析】方法1：；当时，因为也适合上式，所以方法2：，所以13【答案】（1）7分钟；（2）15分钟【解析】（1）设n分钟后相遇，依题意得，整理得，解得或（舍去），所以开始运动后7分钟相遇（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有，整理得，解得或（舍去），第2次相遇在开始运动后15分钟14【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，因为，所以（2）由（1）可得，令，得，所以所以的最小值为15【答案】B【解析】因为数列的前项和与满足关系式，所以有，又为等差数列，所以，故选B17【答案】B【解析】等差数列的前项和有最大值，则公差，则，若，则，与已知矛盾，故，则由得，所以，因此使的的最大值为故选B18【答案】B【解析】因为，所以，正确；，正确；，不正确；因为，所以数列的最大项为，不正确；因为，所以，正确故选B19【答案】【解析】，所以20【答案】【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，则，所以21【答案】 【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得（2）由等差数列前n项和的性质得22【答案】（1）；（2）【解析】由及，得，所以由，得，可得，所以，由于，所以，即，由等差数列的定义可得数列是首项为1，公差为的等差数列，所以23【答案】【解析】当时，；当，因为时适合上式，所以的通项公式为由，得，即当时，；当时，当时，当时，综上，可得24【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1）因为，所以，因为，所以，又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列（2）由（1）可得，所以，当时，当时，所以（3）由（2）可得，所以，故25【答案】B【解析】设数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B【名师点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的前项和公式，求出公差，之后利用等差数列的通项公式求26【答案】C【解析】由已知所以故选C27【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C【秒杀解】因为，即，则，即，解得，故选C28【答案】【解析】因为，所以，解得，所以29【答案】20【解析】由得，因此30【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和