高考数学函数知识荟萃讲义.doc

函数函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题填空题解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点:考查函数的表示法定义域值域单调性奇偶性反函数和函数的图象.函数与方程不等式数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.题型1:求有解析式的函数的定义域(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意: 分母不能为0; 对数的真数必须为正; 偶次根式中被开方数应为非负数; 零指数幂中,底数不等于0; 负分数指数幂中,底数应大于0; 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集; 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写例1.(08年湖北)函数的定义域为( )A.;B.;C. ;D. 答案:题型2:求复合函数和抽象函数的定义域例1.(2007湖北)设,则的定义域为( )A. ;B. ;C. ;D. 答案:B.例2.已知函数的定义域为,求的定义域例3.已知的定义域是,求函数的定义域例4.已知的定义域是(-2,0),求的定义域(-3x0)的函数,m0时,且对任意的abR,有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(3)求证:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2x-x2)1,求x的取值范围. 解析(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f 2(0).又f(0)0,f(0)=1.(2)证明:当x0,f(0)=f(x)f(-x)=1.f(-x)=0.又x0时f(x)10,xR时,恒有f(x)0.(3)证明:设x10.f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1).x2-x10,f(x2-x1)1.又f(x1)0,f(x2-x1)f(x1)f(x1).f(x2)f(x1).f(x)是R上的增函数.(4)解:由f(x)f(2x-x2)1,f(0)=1得f(3x-x2)f(0).又f(x)是R上的增函数,3x-x20.0x3.例2.已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时,(1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式.解:(1)令,得,令,得,是偶函数.(2)设,则,即,在上是增函数.(3),是偶函数不等式可化为,又函数在上是增函数,解得:,即不等式的解集为.题型3:函数的单调性的应用例1.若函数 在区间(-,4 上是减函数,那么实数的取值范围是_(答:);例2.已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围_(答:);例3.函数在上是增函数,求的取值范围.分析:由函数在上是增函数可以得到两个信息:对任意的总有;当时,恒成立.解:函数在上是增函数,对任意的有,即,得,即, ,要使恒成立,只要;又函数在上是增函数,即,综上的取值范围为.另解:(用导数求解)令,函数在上是增函数,在上是增函数,且在上恒成立,得.考点2 函数的值域(最值)的求法求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围题型1:求分式函数的最值例1.(2007上海)已知函数当时,求函数的最小值解析当时,在区间上为增函数在区间上的最小值为题型2:利用函数的最值求参数的取值范围例2.(2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围 解析在区间上恒成立;在区间上恒成立;在区间上恒成立;函数在区间上的最小值为3, 即题型3:求三次多项式函数的最值例3.已知为实数,函数,若,求函数在上的最大值和最小值 解析, 得:当 当 因此,在区间内单调递减,而在内单调递减,且又 ,函数的奇偶性(一)知识梳理1函数的奇偶性的定义:对于函数的定义域内任意一个,都有或,则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称对于函数的定义域内任意一个,都有或,则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)2.函数的奇偶性的判断:(1)可以利用奇偶函数的定义判断(2)利用定义的等价形式, ,()(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称3.函数奇偶性的性质:(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.(2)若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”如设是定义域为R的任一函数, ,(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.(5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.(二)考点分析考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1:判断有解析式的函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1);(3);(4)题型2:证明抽象函数的奇偶性例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足:对任意的,都有. 求证f (x)为奇函数; 解析令x = y = 0,则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(-1, 1) -x(-1, 1) f (x) + f (-x) = f () = f (0) = 0 f (-x) =-f (x) f (x) 在(-1,1)上为奇函数例2.(1)函数,若对于任意实数,都有,求证:为奇函数(2)设函数定义在上,证明是偶函数,是奇函数考点2 函数奇偶性单调性的综合应用例1.已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围 解析 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数,解得实数的取值范围是例2.设函数对于任意的,都有,且时,(1)求证是奇函数;(2)试问当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由例3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-,0)内单调递增,f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 解析设0x1x2,则-x2-x10,f(x)在区间(-,0)内单调递增,f(-x2)f(-x1),f(x)为偶函数,f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a2-2a+1.解之,得0a3.又a2-3a+1=(a-)2-.函数y=()的单调减区间是结合0a0时,抛物线开口向上,函数在上单调递减,在上单调递增,时,;(2)a0) ,(1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0(0(0(0)的解集为或者是(二)考点分析考点1.求二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)= -1,f(-1)= -1且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数法一:利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意得:解得: f(x)= - 4x2+4x+7法二:利用顶点式f(2)= f(-1) 对称轴 又最大值是8可设,由f(2)= -1可得a= - 4 法三:由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍) f(x)= - 4x2+4x+7例2.已知二次函数的对称轴为,截轴上的弦长为,且过点,求函数的解析式.解:二次函数的对称轴为,设所求函数为,又截轴上的弦长为,过点,又过点, ,考点2.二次函数在区间上的最值问题例1.已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2,求a的值思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解:f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0x1),对称轴x=a10 a1时,综上所述:a= - 1或a=2例2.已知y=f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时,求函数的最大值和最小值答案:例3.已知函数的最大值为,求的值 .分析:令,问题就转二次函数的区间最值问题.解:令,对称轴为,(1)当,即时,得或(舍去).(2)当,即时,函数在单调递增,由,得.(3)当,即时,函数在单调递减,由,得(舍去).综上可得:的值为或.考点3.一元二次方程根的分布及取值范围例1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围(2)若方程两根在区间(0,1)内,求m的范围思维分析:一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴与区间相对位置解:设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图 (2) 练习:方程在(- 1,1)上有实根,求k的取值范围宜采用函数思想,求的值域 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,主要研究开口判别式对称轴区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解例2. 已知函数与非负轴至少有一个交点,求的取值范围.解法一:由题知关于的方程至少有一个非负实根,设根为则或,得.解法二:由题知或,得.例3.对于函数,若存在,使,则称是的一个不动点,已知函数,(1)当时,求函数的不动点;(2)对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,若的图象上两点的横坐标是的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.解:(1),是的不动点,则,得或,函数的不动点为和.(2)函数恒有两个相异的不动点,恒有两个不等的实根,对恒成立,得的取值范围为.(3)由得,由题知,设中点为,则的横坐标为,当且仅当,即时等号成立,的最小值为.指数与指数函数(一)知识梳理1.指数运算;2.指数函数:(),定义域R,值域为().当,指数函数:在定义域上为增函数;当,指数函数:在定义域上为减函数.当时,的值越大,越靠近轴;当时,则相反.(二)考点分析例1.已知下列不等式,比较,的大小:(1) (2)变式1:设,那么 ( )A.aab B.a baC.aab D.ab0 即时,0可化为,设,则, 所以 在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此,从而4;当x5时,f(x)=10,1,log5x1, 与的图象不再有交点,故选C巩固设奇函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x),若当x0,1时,f(x)=2x-1,则f()= .例4.如图所示,一质点在平面上沿曲线运动,速度大小不 变,其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ( )A B C D答案 B解析 由图可知,当质点在两个封闭曲线上运动时,投影点的速度先由正到0到负数,再到0,到正,故错误;质点在终点的速度是由大到小接近0,故错误;质点在开始时沿直线运动,故投影点的速度为常数,因此是错误的,故选.题型3:函数的图象变换例5.设,函数.()若是函数的极值点,求的值;()若函数,在处取得最大值,求的取值范围.解:().因为是函数的极值点,所以,即,因此.经验证,当时,是函数的极值点.()由题设,.当在区间上的最大值为时,即.故得.反之,当时,对任意,而,故在区间上的最大值为.综上,的取值范围为.点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题例6.(2009四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有 ,则的值是( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案 A解析 若0,则有,取,则有: (是偶函数,则 )由此得于是题型4:函数图象应用例7.函数与的图像如下图:则函数的图像可能是( ) 解析:函数的定义域是函数与的定义域的交集,图像不经过坐标原点,故可以排除CD由于当x为很小的正数时且,故选A 点评:明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正异号为负”例8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围解法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点,即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1,0),f(x)=a+b+c 又有f(-1)0,即-a+b-c0 +得b2时,f(x)0,从而有a0,b0点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围题型5:函数图像变换的应用例9.已知,方程的实根个数为( )A.2 B.3 C.4 D.2或3或4根据函数与方程的关系,知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数该题通过作图很可能选错答案为A,这是我们作图的易错点若作图标准的话,在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像,由图知当时,图像的交点个数为3个;当时,图像的交点个数为4个;当时,图像的交点个数为2个选项为D点评:该题属于“数形结合”的题目解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”,借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可例10.设,若,且,则的取值范围是( )A.B.C.D.解析:保留函数在x轴上方的图像,将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像通过观察图像,可知在区间上是减函数,在区间上是增函数,由,且可知,所以,从而,即,又,所以选项为A点评:考察函数图像的翻折变换体现了数学由简到繁的原则,通过研究函数的图像和性质,进而得到的图像和性质2.10 函数与方程(一)知识梳理1.函数零点概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点既存在,使得,这个也就是方程的根2.二分法及步骤:对于在区间,上连续不断,且满足的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:(1)确定区间,验证,给定精度; (2)求区间,的中点;(3)计算:若=,则就是函数的零点;若,则令=(此时零点);若,则令=(此时零点);(4)判断是否达到精度;即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤24(二)考点分析题型1:方程的根与函数零点例1.(1)方程lgx+x=3的解所在区间为( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+)(2)设a为常数,试讨论方程的实根的