初中数学圆教学案（有答案）.doc

3.1 圆(2)【要点预习】1. 确定圆的条件 的三个点确定一个圆.2. 三角形的外心经过三角形各个顶点的圆叫做 ， 叫做三角形的外心，这个三角形叫做 . 三角形的外心是三角形 的交点.【课前热身】1. 下列条件可以确定一个圆的是（ ）A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三个点 D. 已知直径答案：D2. 三角形的外心是三角形的三条（ ）A. 角平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 中垂线的交点答案：D3. 经过M、N两点的圆有 个，它的圆心在 .答案：无数 线段MN的垂直平分线上4. 过任意四边形 ABCD 的三个顶点能画圆的个数最多为 个.答案：4【讲练互动】【例1】三角形的外心具有的性质是（ ）A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等C. 外心一定在三角形外 D. 外心一定在三角形内【解析】由于三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，而“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因此三角形的外心到三个顶点的距离相等.【答案】B【绿色通道】锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外. 任意三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.【变式训练】1. 锐角ABC的A逐渐增大时，它的外心逐渐向 边移动，当A增大到90时，外心在 处.【答案】BC BC边的中点【例2】某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为了复制该瓷盘，需要确定其圆心和半径. 请在图3中用直尺和圆规找出瓷盘的圆心. (不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹) 【分析】要找出圆心的关键是在圆弧上任取三点，作其连线段的垂直平分线，其交点即为圆心.【解】如图，O即为所示图形.【绿色通道】确定一个圆需要两个要素：圆心的位置和半径的大小. 因此要将一个残缺的圆补完整，就转化为确定圆心的位置. 当然，确定圆心位置的方法并不局限于上述一种.【变式训练】2. 如图， EF所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 次，就可找到圆形工件的圆心.【答案】2【例3】(1) 已知一个矩形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？试一试(2) 已知一个等腰梯形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？试一试.(3) 已知一个平行四边形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？【分析】先分别过各类四边形ABCD中的三个顶点如A、B、C画一个圆，再观察另一个顶点D是否在圆上即可.【解】如图1、2、3所示，发现矩形、等腰梯形的四个顶点都在同一个圆上，而平行四边形则不在. 图1 图2 图3 图4【变式训练】3. (1) 已知四边形ABCD中，B+D=180，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？(2) 对于任意四边形ABCD要画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上，请结合例3和变式训练中的几个画图思考，你能领悟到什么？【解】(1) 如上图4所示，它的四边形顶点都在同一个圆上.(2) 对角互补的四边形的四个顶点都在同一个圆上.【绿色通道】对角互补的四边形的四个顶点都在同一个圆上.【同步测控】基础自测1. 下列说法正确的是（ ）A. 一个点可以确定一个圆 B. 两个点可以确定两个圆 C. 三个点可以确定一个圆 D. 不在同一直线上的三点确定一个圆2. 钝角三角形的外心在（ ）A. 三角形内 B. 三角形外 C. 三角形的边上 D. 上述三种情况都有可能3. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三角形的外心是三角形的三条高线的交点 B. 等腰三角形的外心一定在它的内部 C. 任何一个三角形有且仅有一个外接圆 D. 任何一个四边形都有一个外接圆4. 如果一个三角形的外心在它的一条边上，则此三角形必是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形5. 写出如图的一个O的内接三角形 .6. 若平面上A，B，C三点能够确定一个圆，那么这三个点所满足的条件是 .7. 直角三角形的外接圆的半径为4cm，则此三角形的斜边长为 .8. 直角三角形两直角边长分别为和l，那么它的外接圆的直径是 .9.如图，A，B，C表示三个小区，现在要建一个供水站，使它到这三个小区的距离相等.问这个供水站应建在何处? (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)10. 如图，已知ABC，用直尺和圆规作ABC的外接圆.（要求保留作图痕迹，不写作法） 能力提升11. 等边三角形的外心在它的（ ） A. 外部 B. 内部 C. 边上 D. 顶点处 12.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）A. 16cm或6cm B. 3cm或8cm C. 3cm D. 8cm13. 在RtABC中，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或814. 若矩形的两条邻边分别为6和8，则经过这个矩形四个顶点的圆的半径为 .ABC15. 如图，一长度为8m的梯子AB的顶点A向点C滑动过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否变化?若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出其长度.16. 在平面内已知有不重合的四个点A，B，C，D，它们一共可以确定几个圆？创新应用17. 已知圆上两点A，B（如图），用直尺和圆规求作以AB为一腰的圆内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？若作以AB为一边的圆内接等腰三角形，能作几个？参考答案基础自测1. 下列说法正确的是（ ）A. 一个点可以确定一个圆 B. 两个点可以确定两个圆 C. 三个点可以确定一个圆 D. 不在同一直线上的三点确定一个圆答案：D2. 钝角三角形的外心在（ ）A. 三角形内 B. 三角形外 C. 三角形的边上 D. 上述三种情况都有可能答案：B3. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三角形的外心是三角形的三条高线的交点 B. 等腰三角形的外心一定在它的内部 C. 任何一个三角形有且仅有一个外接圆 D. 任何一个四边形都有一个外接圆答案：C4. 如果一个三角形的外心在它的一条边上，则此三角形必是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形答案：B5. 写出如图的一个O的内接三角形 .答案：ABC或BCD6. 若平面上A，B，C三点能够确定一个圆，那么这三个点所满足的条件是 .答案：A，B，C在同一直线上 7. 直角三角形的外接圆的半径为4cm，则此三角形的斜边长为 .答案：8cm8. 直角三角形两直角边长分别为和l，那么它的外接圆的直径是 .答案：29.如图，A，B，C表示三个小区，现在要建一个供水站，使它到这三个小区的距离相等.问这个供水站应建在何处? (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)分析：到线段两端距离相等的点必在线段的垂直平分线上，因此只要作出线段AB，BC的垂直平分线，即可得水站的位置.解：如图.10. 如图，已知ABC，用直尺和圆规作ABC的外接圆.（要求保留作图痕迹，不写作法） 解：如图.能力提升11. 等边三角形的外心在它的（ ） A. 外部 B. 内部 C. 边上 D. 顶点处 答案：B12.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）A. 16cm或6cm B. 3cm或8cm C. 3cm D. 8cm解析：当这个点在圆外时，直径长为11-5=6cm；当这个点在圆内时，直径长为11+5=16cm.答案：A13. 在RtABC中，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或8解析：当BC为斜边时，直径长为8；当AC为斜边时，直径长为=10.答案：D14. 若矩形的两条邻边分别为6和8，则经过这个矩形四个顶点的圆的半径为 .ABC解析：经过矩形四个顶点的圆的直径即为矩形的对角线的长.答案：515. 如图，一长度为8m的梯子AB的顶点A向点C滑动过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否变化?若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出其长度.解：C=Rt，ABC的外心是斜边AB的中点.外心到C点的距离=AB=4m，即三角形的外心与点C的距离不变，始终为4m. 16. 在平面内已知有不重合的四个点A，B，C，D，它们一共可以确定几个圆？分析：对这四个点的位置关系进行分类讨论.解：(1) 若A，B，C三点共线，D在它们所在的直线外，可作三个圆；(2) 设A，B，C，D四点共线，此时不能作圆；(3) 设四个点中任意三点都不共线，则可作四个圆.创新应用17. 已知圆上两点A，B（如图），用直尺和圆规求作以AB为一腰的圆内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？若作以AB为一边的圆内接等腰三角形，能作几个？分析：设ABC为所求的等腰三角形.(1) 以AB为腰：当AB=AC时，点C1在以A为圆心，AB为半径的圆与已知圆的交点处；当BA=BC时，同理点C也能作一个.即共能作2个.(2) 以AB为底：点C必在AB的垂直平分线与已知圆的交点处，即共能作2个.解：以AB腰的等腰三角形能作2个；以AB为一边的等腰三角形能作4个.3.2 圆的轴对称性(1)【要点预习】1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，每一条 所在的 都是对称轴.2. 垂径定理垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦 .3. 弦心距的概念圆心到圆的一条弦的 叫做弦心距.【课前热身】1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A一条 B 两条 C一条 D无数条 答案：D2. 下列说法正确的是（ ）A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴答案：B3. 如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是（ ） 图3PABOA. CEDE B. C. BACBAD D. ACAD答案：D4.如图，的直径为26cm，弦长为24cm，则点到的距离为 答案：5cm【讲练互动】【例1】已知如图用直尺和圆规求作这条弧的四等分点【分析】先作的中点，由垂径定理联想到，只要作垂直于弦AB的直径，即作线段AB的中垂线，与的交点即为的中点. 同理再作和的中点.【解】如上图所示.【作法】(1) 连结AB，作AB的垂直平分线GH，交于C.(2) 连结AC，作AC的垂直平分线MN，交于D.(3) 连结BC，作BC的垂直平分线PQ，交于E.点C、D、E就是所求的的三等分点.【绿色通道】作弦的垂直平分线即可作出弦所对弧的中点.【变式训练】1. 如图，点P在O内，过P点作一条弦AB，使弦AB是所有经过P点的弦中最短的弦，并作出弦AB所对的优弧的中点.【作法】如上图所示.(1) 连结OP，过P作OP的垂线，交O于A、B两点.(2) 延PO交O于C.AB就是所求的弦，点C就是弦AB所对的优弧的中点.【例2】如图，OCD为等腰三角形，底边CD交O于A、B两点. 求证：AC=BD.【分析】怎样证AC=BD？由于OCD是等腰三角形，作OECD于E后，由等腰三角形“三线合一”得CE=DE，又根据垂径定理得E为弦AB的中点，两者相关减即可.【解】作OECD于E. 则由垂径定理，得AE=BE.OCD为等腰三角形，CE=DE. AC=BD.【绿色通道】利用垂径定理进行计算或证明时，作出弦心距是一条常规辅助线，应予以重视. 学生用OACOBD来证时，注意出现(SSA)的错误.【变式训练】2. 如例2图，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形.【解】方法一：用垂径定理类似于例2.方法二：用全等三角形.连结OA、OB，则OA=OB，OAB=OBA，即OAC=OBD.又AC=BD，OACOBD，OC=OD，即OCD为等腰三角形.【例3】如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长. 【分析】这是应用垂径定理进行计算的一个基础题. 先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB=2AM.【解】连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.CD=15 cm，OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，OM=4.5cm.在RtAOM中，由勾股定理，得AM=cm，即AB=12cm.【绿色通道】圆中与半径、弦、弦心距有关的计算问题，常用垂径定理构造直角三角形（三边长为弦心距、弦长的一半、半径）解决.【变式训练】3. 如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交于D(1) 请写出三个不同类型的正确结论；(2) 若BC=8，ED2，求O的半径. 【解】(1) 如BE=CE，BED=90，BOD是等腰三角形等等.(2) ODBC，BC=8，BE=4.在RtOBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，r2=42+(r-2)2，解得r=5. 【同步测控】基础自测1.下列图形中对称轴最多的是（ ）A圆B菱形C正三角形 D正方形2. 如图1，在O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，下面结论中错误是（ ） 图1A. AB=BC B. C. D. OC=CN3. 在直径为10cm的O中，有长为5cm 的弦AB， 则O到AB的距离等于（ ）EA. 5cm B. 5cm C.cm D. cm4.如图2，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，若AB=20，CD=16，则线段OE的长为（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 图2 图3 图45. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm6. 已知O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则AOB的度数是 .7. 如图3，AB是O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)8. 如图4，OA是O的半径，弦CDOA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=_.9. 在半径为5cm的O中，弦AB的长为cm，计算：10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD. 图5E能力提升11. 过O内一点M的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. 3cm12. 如图，O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个13. 圆的半径为13cm，两弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB,CD的距离是（ ）A. 7cm B. 17cm C. D. 7cm或17cm解析：分弦AB和CD在圆心O的同侧和两侧两种情况进行讨论.答案：D14. 在直径为1米的圆柱形油槽内装人一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=0.6米，则油的最大深度为_米.15. 如图，O是ABC的外接圆，作OEAC于E，ODAB于D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系?写出你的结论和理由16. 如图，AB，CD是O的弦，A=C. 求证：AB=CD.创新应用17. 如图，两条公路EF和PQ在点O处交汇，QOF=30. 在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果公路上的汽车行驶时，周围200m以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受到影响？如果这辆汽车的速度是每小时72km，居民楼受影响的时间约为多少s？(精确到0.1s)参考答案基础自测1.下列图形中对称轴最多的是（ ）A圆B菱形C正三角形 D正方形答案：A2. 如图，在O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，下面结论中错误是（ ）A. AB=BC B. C. D. OC=CN答案：D3. 在直径为10cm的O中，有长为5cm 的弦AB， 则O到AB的距离等于（ ）EA. 5cm B. 5cm C.cm D. cm答案：D4.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，若AB=20，CD=16，则线段OE的长为（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4答案：C5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm答案：C6. 已知O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则AOB的度数是 .答案：607. 如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交于E，若 ，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)答案：ABCD8. 如图，OA是O的半径，弦CDOA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=_.答案：89. 在半径为5cm的O中，弦AB的长为cm，计算：(l) 点到AB的距离；(2) AOB的度数解：(1) 作OCAB于C，连结OA.AB=cm，AC=cm，OC=cm.(2) OCAB，AC=OC，AOC=45，即AOB=90.10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.E证明：作OEAB于E，则AE=BE，CE=DE，AC=BD.能力提升11. 过O内一点M的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. 3cm解析：过M点的最长的弦即为直径，故半径为3cm；最短的弦即为垂直于OM的弦，根据勾股定理，得OM=cm. 答案：B12. 如图，O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个解析：OP最短为弦AB的弦心距，最长为圆的半径，故3OP5，而满足OP=3的点P只有1个，OP=4或5的点P各有2个.答案：D13. 圆的半径为13cm，两弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB,CD的距离是（ ）A. 7cm B. 17cm C. D. 7cm或17cm解析：分弦AB和CD在圆心O的同侧和两侧两种情况进行讨论.答案：D14. 在直径为1米的圆柱形油槽内装人一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=0.6米，则油的最大深度为_米.答案：0.115. 如图，O是ABC的外接圆，作OEAC于E，ODAB于D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系?写出你的结论和理由DEBC.证明：ODAB，OEAC，AD=BD，AE=EC，DEBC.16. 如图，AB，CD是O的弦，A=C. 求证：AB=CD.分析：首先作出两弦AB，CD的弦心距OE，OF，由垂径定理得AE=AB，CF=CD，然后利用全等三角形证明AE=CF.证明：作OEAB于E，OFCD于F，则AE=AB，CF=CD.A=C，AEO=CFO=90，OA=OC，AOECOF，AE=CF，AB=CD.创新应用17. 如图，两条公路EF和PQ在点O处交汇，QOF=30. 在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果公路上的汽车行驶时，周围200m以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受到影响？如果这辆汽车的速度是每小时72km，居民楼受影响的时间约为多少s？(精确到0.1s)分析：(1) 要看居民楼是否会受到噪音影响，只要比较点A到EF的距离与200m的关系；(2) 要求居民楼受噪音影响的时间，首先求出受噪音影响的路段. 以A为圆心，200m为半径的圆形区域内受噪音的影响，A与EF的交点之间的线段即为受影响的路段，利用垂径定理与勾股定理即可求出此线段的长度. 解：(1) 过点A作ADEF于D.QOF=30，AD=OA=100m2m，能顺利通过.3.3圆心角(1)【要点预习】1. 圆的旋转不变性和中心对称性把圆绕 转动任意一个角度所得的像和原图形重合. 圆是中心对称图形， 就是它的对称中心.2. 圆心角的概念顶点在 的角叫做圆心角.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.【课前热身】1. (苏州市07)如图，MN为O的弦，M=50，则圆心角MON等于（ ）A. 50 B. 55 C. 65 D. 80答案：D2. 如图，O中，AOB=COD，则AC= ，= .答案：BD 3. 若等边ABC内接于O，则的度数是 .答案：120【讲练互动】【例1】如图，请用直尺和圆规在中作出，使的度数为45.【分析】先作90的圆心角，再作这个圆心角的角平分线得45圆心角，从而可得45的弧.【作法】如图. (1) 作O的一条半径OA；(2) 过O点作OCOA，交O于C点；(3) 作AOC的角平分线OF，交O于B点. 就是度数为45的弧.【绿色通道】求弧的度数时，我们往往通过圆心角的度数来进行转化.【变式训练】1. 如图，请用直尺和圆规在中作出一个圆内接正方形.【作法】如图.(1) 作O的一条直径AB.(2) 过O点作CDAB，CD交O于C点和D点.(3) 依次连结A，D，C，B.四边形ADBC就是所求的正方形.【例2】如图，已知AB，CD是O的两条直径，弦DEAB. 求证：.【分析】要证，只要证它们所对的圆心角相等，故连结OE，只要证BOC=BOE.【证明】连结OE. OD=OE，D=E.DEAB，BOC=D，BOE=E.BOC=BOE，.【绿色通道】要证明两条弧相等，可以考虑证它们所对的圆心角相等. 另外，在学完后面几节内容后，本题还有多种证法.【变式训练】2. 如图，在O中，弦AB=CD. 求证：AC=BD.【证明】AB=CD，OA=OB=OC=OD，AOBCOD，AOB=COD，AOC=BOD，AC=BD.【例3】如图，以RtABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若C=31，求的度数.【分析】要证明弧之间的数量关系，可以转化为求它们所对的加以角的角度之间的关系.【解】连结BD. 在RtABC中，AOB=90，C=31，A=90-C=59.又BA=BD，BDA=A=59，ABD=180-BDA-A=62，DBC=90-ABD=28，即COD=28.【绿色通道】把求弧的度数问题转化为求它所对的圆心角的度数. 因此，半径是此类问题中的常用的辅助线.【变式训练】3. 如图，是以O为圆心的一条弧，OAOB，C是OB的中点，CDOA，交于D. 求的度数.【解】连结OD. OAOB，CDOA，CDOB.又OC=OB=OD，DOA=30，30.【同步测控】基础自测1. 下列命题中，不正确的