九年级数学圆有关的角一周强化沪教版.doc

与圆有关的角一周强化一、一周知识概述(一)圆周角1、顶点在圆上，两条边都和圆相交的角叫做圆周角2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90；90的圆周角所对的弦是直径4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(二)弦切角1、弦切角：顶点在圆上，一条边和圆相交，另一条边和圆相切的角叫做弦切角2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角二、重点难点疑点突破1、对圆周角的理解定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半突破：如图，AOB与ACB是对的圆心角与圆周角，故有：，AOB=2ACB，ACB的度数等于的度数一半定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系定理的证明(1)为什么要分情况证明？应不应分情况，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同，不分情况；不同，则必须分情况，而且分情况要分得正确，不能重复或遗漏而圆周角定理的证明，分三种情况，它们的证法都不相同，故要分情况证明(2)如何分类讨论？以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部(3)如何证明定理？先证明第一种情况，再用第一种情况证明第二、三种情况2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：是圆中证角相等最常用的方法之一若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的1与2)推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”离开这个前提条件，结论不成立(如图中的)(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法3、对圆的内接四边形定理的理解(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180)(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置4、对弦切角的理解弦切角所夹的弧是构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧弦切角定理的证明可以仿照圆周角定理的证明，也分三种情况，第一种情况是特殊情况，其它两种是一般情况，可通过作辅助线转化为第一种情况弦切角可以是锐角、钝角、直角，一条切线和过切点的弦形成两个弦切角弦切角=它所夹弧对的圆周角=所夹弧对的圆心角的一半=所夹弧的度数一半三、解题方法技巧点拨1、圆心角、圆周角和弧之间的换算例1、已知：如图，AB为O的直径，弦CD交AB于P，且APD=60，COB=30，则ABD=_度 例2、如图，ABC中，AB=AC，A=80，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E求的度数 2、圆内角、圆外角、圆周角、弧之间的运算题圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，P=28，AQC=92，求cosABC的值 点评：1）圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系2）同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角圆周角圆外角3）圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和(如图，AQC=ABCA)4）圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，P=ABCA)3、与圆周角有关的证明例4、如图，ABC内接于O，AEBC于D，交O于E，AF为O的直径求证：BAF=CAE 思考：此题还可以证明以下结论：(1)；(2)ABAC=ADAF；(3)若过O作ONAB于N，则ON与CE之间有何数量关系？提示：(1)的度数=2ACB，的度数=2CAE，而ACBCAE=90故可证(2)可证ABFADC(3)连结BF，可知有BF=CE，另由三角形中位线定理知点评：圆中有垂直弦(或垂直条件)时，常作直径对的圆周角得平行弦，再用平行弦夹的弧相等来证题例5、如图，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：AB2=BGBC 点评：这里连结AD构造直径对的圆周角，进而运用了推论2，这是证明本题的关键 4、与圆的内接四边形的有关计算问题例6、如图，已知AB是半圆O的直径，BAC=40，D是AC上任意一点，那么D的度数是_ 另外计算题还有以下几个题型：与圆心角组合的题，主要利用同弧对的圆心角与圆周角关系解题；已知三个角的份数比求第四个角；主要利用对角的份数和相等解题，先由已知份数的这组对角求出一份的度数，再根据未知角的份数求出这个角的度数例7、已知：四边形ABCD内接于O，且BOD=100求A的度数分析：如图，(1)(2)点A的位置有两种可能：一是点A在BOD的内部时如(1)图；二是点A在BOD的外部时如图(2)故A有两个值5、与圆的内接四边形有关的证明问题例8、如图，已知：AB是O的直径，弦CDAB于E，G是上任意一点，AG、DC的延长线交于F求证：FGC=AGD注意：本题还可以有另外的考虑：如连结BC，用上述证明类似的步骤可以证明得结论；又如连结BG，证明BGD=BGC，通过等角的余角相等也可以证得结论点评：圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形变换：此题条件不变，问DGCG是否与AGFG相等(提示：相等，只须证ADGCFG)是否有AC2=AGAF成立(提示：成立，只须证ADGAFD，有AD2=AGAF=AC2)6、与弦切角有关的计算例9、如图，CE切O于B，直径DA的延长线交CE于E，且的度数为40，则E=_例10、如图，BC切O于B，且ABC=30，AB=4，则O的半径为_点评：弦切角的有关计算，主要是考查弦切角与它所夹的弧，及此弧对的圆心角