《工学格林公式》PPT课件.ppt

Mon. May.8 Review,性质，几何意义与计算法：,特别注意方向性。性质，物理意义与计算法,注意：化定积分时积分上限不一定大于下限。,3. 两类曲线积分的关系：,3 Green公式,区域连通性的分类 Green公式 平面曲线积分与路径无关的条件 全微分准则,一. 区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,二. 格林(Green)公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,格林公式的实质：,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。,L,解,P，Q具有一阶连续导数， 由Green公式，有：,令,利用Green公式，挖掉原点，作以为 半径，原点为圆心的小园，在挖掉的区域内用Green公式。,D为任一区域时，结果相同：,1) 不包含原点的任意封闭曲线；,2) 以原点为中心的正向单位园；,3) 包含原点的任意正向闭曲线。,解,所给积分曲线不是封闭曲线，化定积分计算太复杂。（可试算）,加补直线AO，使L与AO构成一条封闭曲线 的反向，若设 围成区域D，则由Green公式 ：,在AO上，y=0，故dy=0，于是,证明,设L上的单位切向量 与L的正向一致， 与正x轴的夹角为 则L的外法线单位向量与x轴的夹角为 ，从而,于是,解,Sun. May.8 Review,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,格林公式,注意公式成立的条件。,可用于计算平面区域的面积。,三 曲线积分与路经无关的条件,1 曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,性质：区域G中的曲线积分 路径无关,G中任何一条封闭曲线的积分为零。,证明,在G内任取两点M0和M1，设 L1 和L2是G内从M0到M1的任意两条定向曲线，则,是G内的一条定向闭曲线，因,故得：,2 曲线积分与路径无关的条件,定理1,两条件缺一不可,有关定理的说明：,证明：,在G内,在G内的任何封闭的分段光滑曲线L1的正向上的曲线积分满足Green公式条件，因而有：,曲线积分与路经无关（由性质）。,用反证法,设在G内任一条封闭曲线L1上的积分,但存在一点M0 (x0 , y0) 使,由偏导数的连续性，必定存在以M0 为中心，r为半径的足够小的园，它所围区域为K，在K内恒有,于是,矛盾！,如果曲线积分与路经无关，通常考虑采用平行于坐标轴的折线段为积分路径以简化计算。,解,曲线积分与路经无关,解,解,四 全微分准则,现考虑反问题： 已给全微分形式,定义,定理2,由定理1知，,称为 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的原函数。,求原函数的公式。,推广的Newton-Leibniz公式，或曲线积分基本定理。,解,解,四个等价命题,则,全微分方程,如果一阶微分方程可以写成下列形式,并满足,则称上述方程为全微分方程，由等价命题知,是某个函数的全微分，故,解,方程通